BZOJ 1855： [Scoi2010]股票交易（DP+单调队列）

1855: [Scoi2010]股票交易

Description

最近lxhgww又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。 通过一段时间的观察，lxhgww预测到了未来T天内某只股票的走势，第i天的股票买入价为每股APi，第i天的股票卖出价为每股BPi（数据保证对于每个i，都有APi>=BPi），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第i天的一次买入至多只能购买ASi股，一次卖出至多只能卖出BSi股。 另外，股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔W天，也就是说如果在第i天发生了交易，那么从第i+1天到第i+W天，均不能发生交易。同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过MaxP。 在第1天之前，lxhgww手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然，T天以后，lxhgww想要赚到最多的钱，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？
Input

输入数据第一行包括3个整数，分别是T，MaxP，W。 接下来T行，第i行代表第i-1天的股票走势，每行4个整数，分别表示APi，BPi，ASi，BSi。
Output

输出数据为一行，包括1个数字，表示lxhgww能赚到的最多的钱数。
Sample Input

5 2 0

2 1 1 1

2 1 1 1

3 2 1 1

4 3 1 1

5 4 1 1

Sample Output

3

HINT

对于30%的数据，0 < =W 对于50%的数据，0 < =W 对于100%的数据，0 < =W
对于所有的数据，1 < =BPi < =APi < =1000,1 < =ASi,BSi < =MaxP

分析：

DP方程

f[i,j]:=f[i-1,j]

f[i,j]:=max(f[i-w-1,k]-(j-k)*a[i])  max(0,j-s[i])<=k<=j-1

f[i,j]:=max(f[i-w-1,k]+(k-j)*b[i])  j+1<=k<=min(maxv,j+e[i])

发现非常符合单调性优化DP的模型 f[i]=max(f[j]+g[i])

将方程变为f[i,j]:=f[i-w-1,k]+k*a[i]-j*a[i]（第二种情况类似）对于i>=w+1从0到maxv枚举j的值，依次将f[i-w-1,k]+k*a[i]加入单调队列，并取出队头，更新f[i,j],对于第二种情况倒着枚举即可。

代码：

program jiaoyi;
var
  a,b,s,e:array[..]of longint;
  q:array[..]of int64;
  f:array[..,..]of int64;
  n,m,maxv,w,ans,h,t:int64; i,j,k:longint;
function max(x,y:longint):longint;
begin
  if x>y then max:=x else max:=y;
end;
function min(x,y:longint):longint;
begin
  if x<y then min:=x else min:=y;
end;
begin
  readln(n,maxv,w);
  for i:= to n do
   readln(a[i],b[i],s[i],e[i]);
  for i:= to n do
    for j:= to maxv do
     f[i,j]:=-maxlongint div ;
  for i:= to n do
    f[i,]:=;
  for i:= to n do
  begin
   h:=; t:=;
   for j:= to s[i] do f[i,j]:=-a[i]*j;
   for j:= to maxv do f[i,j]:=max(f[i,j],f[i-,j]);
   if i>=w+ then
   begin
   for j:= to maxv do
    begin
      while (j-q[h]>s[i])and(h<=t) do inc(h);
      while (f[i-w-,q[t]]+a[i]*q[t]<=f[i-w-,j]+a[i]*j)and(h<=t) do dec(t);
      inc(t); q[t]:=j;
      if h<=t  then f[i,j]:=max(f[i,j],f[i-w-,q[h]]-a[i]*(j-q[h]));
    end;
   h:=; t:=;
   for j:=maxv downto  do
    begin
      while (q[h]-j>e[i])and(h<=t) do inc(h);
      while (f[i-w-,q[t]]+b[i]*q[t]<=f[i-w-,j]+b[i]*j)and(h<=t) do dec(t);
      inc(t); q[t]:=j;
      if h<=t then f[i,j]:=max(f[i,j],f[i-w-,q[h]]+b[i]*(q[h]-j));
    end;
   end;
  end;
  for i:= to maxv do
    ans:=max(ans,f[n,i]);
  writeln(ans);
end.