[P2769] 猴子上树

## 题目描述

在猴村有一条笔直的山路，这条山路很窄，宽度忽略不计。有 n只猴子正站在山路上静静地观望今天来参加比赛的各位同学。用一个正整数Xi表示第i只猴子所站位置，任意两只猴子的所站位置互不相同。在这条山路的m个位置上种着一些高大的树木，正整数Yj表示第j棵树木所在的位置，任意两棵树的位置互不相同。

正当猴子们聚精会神的欣赏各位高超编程技能 聚精会神的欣赏各位高超编程技能时，一只老虎大摇摆的走了过来。猴子们吓得直冒冷汗，第一反应就是找棵大树爬上去这样能避免被老虎咬死或者吃掉（不考虑老虎上树问题）。

在位置a的猴子跑到在位置b的大树上，需要消耗能量为|a-b|（即 a-b的绝对值）。为了尽可能有效利用这些大树避难，每棵上至少要一只猴子。 请编程计算n只猴子全部上树最少需要消耗多能量？

输入输出格式

输入格式：

输入共4行。

第1行一个整数 n，表示猴子的数量。

第2行n个整数，i个整数个整数Xi表示第i只猴子所在的位置。

第3行一个整数m，表示大树的数量。

第4行m个整数，第j个整数表示第j棵大树所在的位置。

输出格式：

输出一行，一个整数表示n只猴子全部上树最少需要消耗的能量。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3

1 4 5

2

3 8

输出样例#1： 复制

6

输入样例#2： 复制

3

3 1 10

2

8 3

输出样例#2： 复制

4

说明

30%的数据，\(1≤n≤500,1≤X_i,Y_i≤10^5\)。

100%的数据，\(1≤n≤5000,1≤m≤n,1≤Xi_,Y_i≤10^9\)。

Solution

动态规划+滚动数组优化空间+排序。

先把猴子和树排序，这很容易想到，贪心肯定不行，因为你无法确定哪些树有猴子，而且保证全局最优，于是想到了DP。

我们设\(f[i][j]\)代表前\(i\)只猴子占满了前\(j\)颗树，容易想到DP方程为

\[f[i][j]=min(f[i-1][j-1]+abs(x[i]-y[j]),f[i-1][j]+mn[i][j]);
\]

\(mn[i][j]\)代表第\(i\)只猴子在上前\(j\)颗树的最小能量，可以预处理出来。

发现\(f[i][j]会爆\)\(int\)，所以要开\(long~long\),数据范围5000？，好像

\(f[5000][5000]\)会爆，容易发现\(f[i][j]\)转移只和上一次有关，可以用滚动数组，于是转移方程为$$f[p][j]=min(f[p_xor1][j-1]+abs(x[i]-y[j]),f[p_xor1][j]+mn[i][j]);$$

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll f[2][5010],x[10010],y[10010];
int mn[5010][5010];
int sba(int x)
{
    if(x<0) return -x;
    return x;
}
int main()
{
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    ll n,m;
    cin>>n;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    cin>>x[i];
    sort(x+1,x+1+n);
    cin>>m;
    for(ll i=1;i<=m;i++)
    cin>>y[i];
    sort(y+1,y+1+m);
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    mn[i][0]=2e9;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    for(ll j=1;j<=m;j++)
    mn[i][j]=min(mn[i][j-1],sba(x[i]-y[j]));
    f[1][1]=sba(x[1]-y[1]);
    for(ll i=2;i<=n;i++)
    {
        ll qq=min(i,m);
    	for(ll j=1;j<=qq;j++)
    	{
    	    ll p=i%2;
    	    f[p][j]=min(f[p^1][j-1]+sba(x[i]-y[j]),f[p^1][j]+mn[i][j]);
    	}
    }
    ll p=n%2;
    cout<<f[p][m];
}

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