1497: [NOI2006]最大获利(最大权闭合子图)
1497: [NOI2006]最大获利
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Description
新的技术正冲击着手机通讯市场,对于各大运营商来说,这既是机遇,更是挑战。THU集团旗下的CS&T通讯公司在新一代通讯技术血战的前夜,需要做太多的准备工作,仅就站址选择一项,就需要完成前期市场研究、站址勘测、最优化等项目。在前期市场调查和站址勘测之后,公司得到了一共N个可以作为通讯信号中转站的地址,而由于这些地址的地理位置差异,在不同的地方建造通讯中转站需要投入的成本也是不一样的,所幸在前期调查之后这些都是已知数据:建立第i个通讯中转站需要的成本为Pi(1≤i≤N)。另外公司调查得出了所有期望中的用户群,一共M个。关于第i个用户群的信息概括为Ai, Bi和Ci:这些用户会使用中转站Ai和中转站Bi进行通讯,公司可以获益Ci。(1≤i≤M, 1≤Ai, Bi≤N) THU集团的CS&T公司可以有选择的建立一些中转站(投入成本),为一些用户提供服务并获得收益(获益之和)。那么如何选择最终建立的中转站才能让公司的净获利最大呢?(净获利 = 获益之和 - 投入成本之和)
Input
输入文件中第一行有两个正整数N和M 。第二行中有N个整数描述每一个通讯中转站的建立成本,依次为P1, P2, …, PN 。以下M行,第(i + 2)行的三个数Ai, Bi和Ci描述第i个用户群的信息。所有变量的含义可以参见题目描述。
Output
你的程序只要向输出文件输出一个整数,表示公司可以得到的最大净获利。
Sample Input
1 2 3 4 5
1 2 3
2 3 4
1 3 3
1 4 2
4 5 3
Sample Output
HINT
【样例说明】选择建立1、2、3号中转站,则需要投入成本6,获利为10,因此得到最大收益4。【评分方法】本题没有部分分,你的程序的输出只有和我们的答案完全一致才能获得满分,否则不得分。【数据规模和约定】 80%的数据中:N≤200,M≤1 000。 100%的数据中:N≤5 000,M≤50 000,0≤Ci≤100,0≤Pi≤100。
分析
推荐文章:胡伯涛 《最小割模型在信息学竞赛中的应用》
对于图闭合图建成网络,是:构造一个源点S,汇点T。将S与所有权值为正的点连一条容量为其权值的边,将T所有权值为负的点连一条容量为其权值的绝对值的边,原来的边将其容量定为正无穷。
那么怎么运用到题目上呢,需要进行转化一下。
我们可以理解成:人是正权值的点(有获益),中转站是负权值的的点(建造需要成本),每个人有两个所属的中转站,人和两个中转站之间有两条边。是不是很奇妙
这样就形成了一个闭合图,用上面的话,构造一个源点S,汇点T,正权值点(人)向S连边,容量就是点的权值;负权值点(中转站)向T连边,容量是点权值得绝对;原来的边容量正无穷。
网络图就构造好了,就是下面的图,求出最小割,即最大流,用sum-最大流。sum所有人带来的获益的和(所有正权值点的权值和)
求最小割的意义:
对于这样建图,其实还可以这样理解的,我再补充一下,如果理解求最大权闭合图,就可以做了,可以直接跳过。
我们建好图后,就是下面的图,然后求最小割,为啥求最小割呢(上面文章中有,这是另一种思路)。
求最小割其实就是求最少的花费,sum是所有人的带来的收益和,那么sum把所有的收益加起来了,减去花费不就是最大获益吗?这就是为什么求最小割了。
所以:最小割是花费,要让花费尽量小。
那么求最小割了,设最小割是ans花费,随后要用sum-ans:
- 首先中间的绿边是一定不能切的,切一条绿边的花费就是正无穷了!!!
- 切红边是什么意思呢:表示这个人的收益不要了,不需要满足他了
- 切蓝边:这个中转站建(意会一下,ans+中转站的价格,然后sum再减去,都减去成本,当然建啊)
然后可能有疑问了:会不会我切了红边(不要这个人的收益了),又把属于他的练歌蓝边切了。
当然不可能,绿边可不是凑了闹的,比如对于点a1,他有两条边s-a1-b1-t,s-a1-b2-t,如果切了s-a1这两条边已经断开了,再切b1-t,b2-t没什么用。
好了,到这了,突然发现打了这么多字,可能表达不清楚,qwq
code
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring> using namespace std; const int MAXN = ;
const int INF = 0x7fffffff;
struct Edge{
int to,nxt,c;
}e[];
int sum,tot = ,n,m,s,t,ans;
int head[MAXN], val[MAXN],dis[MAXN];
queue<int>q; int read()
{
int x = ,f = ;char ch = getchar();
for (; ch<''||ch>''; ch = getchar())
if (ch=='-') f = -;
for (; ch>=''&&ch<=''; ch = getchar())
x = x*+ch-'';
return x*f;
}
void add_edge(int u,int v,int w)
{
++tot;
e[tot].c = w,e[tot].to = v,e[tot].nxt = head[u];
head[u] = tot;
++tot;
e[tot].c = ,e[tot].to = u,e[tot].nxt = head[v];
head[v] = tot;
}
bool bfs()
{
memset(dis,-,sizeof(dis));
q.push(s);
dis[s] = ;
while (!q.empty())
{
int u = q.front();
q.pop();
for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt)
{
int v = e[i].to;
if (dis[v]==- && e[i].c>)
{
dis[v] = dis[u]+;
q.push(v);
}
}
}
if (dis[t]!=-) return true;
return false;
}
int dfs(int u,int low)
{
if (u==t) return low;
int w ,tmp = low;
for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt)
{
int v = e[i].to;
if (dis[v]==dis[u]+ && e[i].c> )
{
w = dfs(v,min(low,e[i].c));
e[i].c -= w;
e[i^].c += w;
low -= w;
}
}
return tmp - low;
}
int main()
{
n = read();m = read();
s = ,t = n+m+;
for (int x,i=; i<=n; ++i)
{
x = read();
add_edge(i+m,t,x);//建立从中转站到T的边,中转站的花费
}
for (int x,y,z,i=; i<=m; ++i)
{
x = read(),y = read(),z = read();
sum += z;
add_edge(i,m+x,INF);//建立第i个人到中转站的边INF
add_edge(i,m+y,INF);
add_edge(s,i,z);//建立从S到第i个人的边,第i个人的获益
}
while (bfs())
ans += dfs(s,INF);
printf("%d",sum-ans);
return ;
}
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