LGP4588[JSOI2018]扫地机器人

• 题解

  • 需要先说明一点东西：

  • 1

    • 同一副对角线方向相同,共有$gcd(n,m)$条不同的副对角线，机器人的行为是一个$gcd(n,m)$的循环；；
    • 如果左上方是$(1,1)$,容易看出所有的路径是从左或上面连向右或下面并且紧密排列，所以所有副对角线上方向相同；
    • 有些副对角线是间隔开的只需要将网格重复几次，那么一条副对角的特征就可以用$x+y+kn+km$
    • 由斐蜀定理可知一共有$gcd(n,m)$条；
    • 并且每次一定是从一条对角线$x$走向对角线$x+1$,所以循环节为$gcd(n,m)$

  • 2

    • $n*m$的一种矩形，记$d=gcd(n,m)$，$d_{x}$为$d$步中向下走的步数，$d_{y}$为向右走的步数，一种方案合法当且仅当$$d_{x}+d_{y}=d$, gcd(d_{x},n)=gcd(d_{y},m)=1$$

    • 2.1 充分性：

    • 考虑一个格子在不同的循环节内的位置：$(x+kd_{x} , y+kd_{y})$
    • 由于$gcd(d_{x},n)=gcd(d_{y},m)=1$，所以$x$的循环节长度是$n$,$y$的循环节长度是$m$，同时循环节内元素互不相同，所以$(x,y)$的循环节长度是$lcm(n,m)$
    • 所以棋盘一定会被分成$\frac{nm}{lcm(n,m)} = gcd(n,m)$个类;
    • 考虑在同一个循环节内的不同位置:$(x_{i},y_{i})$和$(x_{j},y_{j})$
    • 记$\delta x  = abs(x_{i}-x_{j}) , \delta y = abs(y_{i}-y_{j}) $
    • 必有$\delta x < d_{x} \ || \ \delta y < d_{y} $发生，所以$(x_{i},y_{i})$和$(x_{j},y_{j})$一定不同类；
    • 由于$d_{x}+d_{y}=d$，所以这就有了所以$d$个类即可以将棋盘完全覆盖；

    • 2.2 必要性：

    • 由斐蜀定理可知在任意$gcd$不为$1$的时候有些坐标是没法表示的，所以肯定也走不到；
  • 现在可以求方案了，考虑如何求步数和：
  • 枚举满足的$d_{x}$和$d_{y}$
  • 枚举撞到障碍的轮数$l$，得到起点$(x_{l},y_{l})$；
  • 可以将前$l$轮和前$l-1$的障碍全部分别映射到$(x_{l},y_{l}) , (x_{l}+d_{x}+1,y_{l}+d_{y}+1)$的矩形中；
  • 现在需要找到每一条在前$l-1$轮不停下在$l$轮停下的路径；
  • 枚举第$l$轮的障碍，前$l$轮图上从起点到最后一个非障碍点的路径 *前$l-1$图上 障碍点到终点的路径即可；
  • 分别在出处理好的前$l$和前$l-1$的图上做两个普通路径计数$dp$即可；

•  #include<bits/stdc++.h>
   #define mod 998244353
   using namespace std;
   const int N=;
   int n,m,mp[][N][N],f[][N][N],ans;
   char s[N][N];
   void upd(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
   int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
   int main(){
       #ifndef ONLINE_JUDGE
       freopen("T2.in","r",stdin);
       freopen("T2.out","w",stdout);
       #endif
       int T;scanf("%d",&T);
       while(T--){
           ans=;
           scanf("%d%d",&n,&m);
           for(int i=;i<=n;++i)scanf("%s",s[i]+);
           for(int i=;i<=n<<;++i)
           for(int j=;j<=m<<;++j)s[i][j]=s[(i-)%n+][(j-)%m+];
           int d=gcd(n,m),cur=;
           for(int dx=,dy;dx<=d;++dx){
               dy=d-dx;
               if(gcd(dx,n)!=||gcd(dy,m)!=)continue; 
  
               for(int i=;i<=dx+;++i)
               for(int j=;j<=dy+;++j)
               mp[][i][j]=mp[][i][j]=;
  
               for(int l=,ax=,ay=;l<=n*m/d;++l){
  
                   cur^=;
  
                   for(int i=;i<=dx+;++i)
                   for(int j=;j<=dy+;++j)
                   mp[cur][i][j]=mp[cur^][i][j]|(s[ax+i-][ay+j-]-'');
  
                   for(int i=;i<=dx+;++i)
                   for(int j=;j<=dy+;++j)f[][i][j]=f[][i][j]=;
  
                   if(!mp[cur][][]){
                       f[cur][][]=;
                       for(int i=;i<=dx+;++i)
                       for(int j=;j<=dy+;++j){
                           if(i!=dx+&&!mp[cur][i+][j])upd(f[cur][i+][j],f[cur][i][j]);
                           if(j!=dy+&&!mp[cur][i][j+])upd(f[cur][i][j+],f[cur][i][j]);
                       }
                   }
  
                   if(!mp[cur^][dx+][dy+]){
                       f[cur^][dx+][dy+]=;
                       for(int i=dx+;i;--i)
                       for(int j=dy+;j;--j){
                           if(i!=&&!mp[cur^][i-][j])upd(f[cur^][i-][j],f[cur^][i][j]);
                           if(j!=&&!mp[cur^][i][j-])upd(f[cur^][i][j-],f[cur^][i][j]);
                       }
                   }
  
                   for(int i=;i<=dx+;++i)
                   for(int j=;j<=dy+;++j)if(mp[cur][i][j]){
                       int x=;
                       if(i!=)upd(x,f[cur][i-][j]);
                       if(j!=)upd(x,f[cur][i][j-]);
                       int y = f[cur^][i][j];
                       upd(ans, 1ll*((l-)*d+i+j-)*x%mod*y%mod);
                   }
  
                   ax=(ax+dx-)%n+,ay=(ay+dy-)%m+;
  
               }
           }
           printf("%d\n",ans);
       }
       return ;
   }