[PKUWC 2018]随机算法

Description

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给定一张有 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，生成 \(1\sim n\) 的全排列，假设一个排列是 \(p\) ， \(S\) 是当前最大独立集；如果 \(S\cup {p_i}\) 是独立集就令 \(S=S\cup {p_i}\) ；

求这 \(n!\) 个独立集为最大独立集的概率，答案对 \(998244353\) 取模。

\(1\leq n\leq 20\)

Solution

我们记 \(mx_{i,j}\) 表示排好序的点以及这些点周围的的点的状态为 \(i\) ，有 \(j\) 个点还未选入序列，其中的最大独立集内点数最大值； \(f_{i,j}\) 表示该状态下的排列个数。

转移就是考虑这一位是将状态内的未选择的点排入排列内或者是重新在状态外再选点。

时间复杂度是 \(O(2^n\times n^2)\) ，并不满。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
using namespace std;
const int N = 20+5, SIZE = (1<<20)+5, yzh = 998244353;

int n, m, u, v, sta[N], bin[N], f[SIZE][N], mx[SIZE][N], cnt[SIZE], inv[N];

void work() {
    scanf("%d%d", &n, &m); bin[0] = inv[1]= 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) bin[i] = bin[i-1]<<1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) inv[i] = -1ll*yzh/i*inv[yzh%i]%yzh;
    for (int i = 1; i <= bin[n]; i++) cnt[i] = cnt[i-lowbit(i)]+1;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        sta[u-1] |= bin[v-1]; sta[v-1] |= bin[u-1];
    }
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 0; i < bin[n]; i++)
        for (int j = n; j >= 0; j--)
            if (f[i][j]) {
                if (j) {
                    if (mx[i][j-1] == mx[i][j]) (f[i][j-1] += 1ll*f[i][j]*j%yzh) %= yzh;
                    else if (mx[i][j-1] < mx[i][j]) mx[i][j-1] = mx[i][j], f[i][j-1] = 1ll*f[i][j]*j%yzh;
                }
                for (int k = 0; k < n; k++)
                    if (!(bin[k]&i)) {
                        int S = (i|sta[k]|bin[k]), t = cnt[sta[k]]-cnt[sta[k]&i];
                        if (mx[S][j+t] < mx[i][j]+1) mx[S][j+t] = mx[i][j]+1, f[S][j+t] = f[i][j];
                        else if (mx[S][j+t] == mx[i][j]+1) (f[S][j+t] += f[i][j]) %= yzh;
                    }
            }
    int ans = f[bin[n]-1][0];
    for (int i = 1; i <= n; i++) ans = 1ll*ans*inv[i]%yzh;
    printf("%d\n", (ans+yzh)%yzh);
}
int main() {work(); return 0; }