Chirp Z-Transform

Chirp Z-Transform

其实不是什么特别难的东西。

用于解决等比数列/类等比数列多点求值。

• \(b_i=\sum_{j=0}^{n}a_jc^{ij}\)
  
  注意到 \(ij=\binom{i+j}{2}-\binom{i}{2}-\binom{j}{2}\)，所以有

\[b_i=c^{-\binom i 2}\sum_{j=0}^{n}a_jc^{-\binom j 2}c^{\binom {i+j}{2}}
\]

容易发现这是一个减法卷积的形式，卷就完事了。

• 循环卷积

你发现 \(\texttt{DFT/IDFT}\) 和上面那东西长得非常像，所以直接做就完了。

• \(b_i=\sum_{j=0}^{n}a_jc_i^j,c_0=z,c_i=xc_{i-1}+y(i\ge 1,x\neq 1)\)

首先当 \(y=0\) 时你可以解出 \(c_i=c_0x^i\)。

然后你发现这玩意和上面那东西长得特别像，只要令 \(x=c_0x\)，就可以直接做。

\(y\neq0\) 时你可以解出它的通项公式。

\[c_i=x^i(c_0-\frac{y}{1-x})+\frac{y}{1-x}
\]

然后这个东西你可以通过平移原多项式来做，平移过后就变成了和上面一样的问题了。

平移的话也很简单，只需要利用二项式定理展开一下，你就会发现这是个减法卷积的形式，卷就完事了。

• 质数 \(p\) 较小时的多点求值

根据原根的定义，\(g^0,g^1,\cdots,g^{p-2}\) 的若干次方可以取遍 \([1,p-1]\) 的所有整数。

然后 \(f(g^i)=\sum_{j=0}^{n}a_jg^{ij}\) 显然我们是会求的。

然后就没了。

不是质数的时候可以用中国剩余定理之类的东西合并。