Codeforces Round #744 (Div. 3) G题题解

淦，最后一道题没写出来，...还是我太菜了，不过这个题确实比较有趣.

G. Minimal Coverage

简化题意：就是你处在坐标轴的0点上，给你一个序列\(a_i\)，每次你可以选择向左走\(a_i\),也可以选择向右走\(a_i\)，求你走过的范围的最小值？（第一步必须向右走）。

其实这个题想起来也没那么复杂，显然每一步在选择时，我们需要一下的信息：当前所处的位置，当前走到哪一步了，当前所走过的范围的左右边界。信息蛮多的，如果用DP的话，当前走到哪一步了，这个很好解决，剩下的三个信息：当前的位置，走过的范围。这个时候我们再看下数据范围：\(n\leq 10^4,a_i\leq 1000\),这\(a_i\)的范围支持我们最多只能再存一个信息。遇到这种信息多，我们无法储存的时候，一般大的解决方法是观察信息之间有没有关系，能不能通过推到得出另一个信息来减少我们存储的信息量。但是：当前的位置，走过的范围。好像没什么明显的联系。剩下的办法就是根据题目的性质，设计更优的状态来减少我们需要记录的信息。可以思考最优解存在的性质，我们发现这个题起点是确定从零开始的，但其实我们完全可以自己调节起点的位置，这对题目没有什么影响。既然如此，我们可以将最优解的左端点移到原点，这样它所有的移动就都是在整数的坐标下移动了。那我们就规定0为左端点，之后考虑我们若在位置x，则右端点肯定越小越好。则我们设这样的状态f[i][j]，即规定0为左端点时前i步后，当前点在j时的最小的右端点。发现这样一定能遍历到最优解。虽然当左端点固定后，起点的位置就不固定了，但在起始状态是我们可以枚举确定的，通过这种方法我们可以减少左端点不固定的麻烦。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+10,M=1010,qwq=1e9;
int n,a[N],f[N][M<<2];
//f[i][j]表示前i步，当前在j的最小右端点。
int main()
{
	//freopen("1.in","r",stdin);
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=0;j<=3000;++j) f[i][j]=qwq;
		for(int i=a[1];i<=2000;++i) f[1][i]=i;//初始化起点。
		int ans=qwq;
		for(int i=2;i<=n;++i)
			for(int j=0;j<=2000;++j) //枚举当前所处的位置。
			{
				if(j>=a[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j-a[i]],j);
				if(j+a[i]<=2000) f[i][j]=min(f[i-1][j+a[i]],f[i][j]);
			}
		for(int j=0;j<=2000;++j) ans=min(ans,f[n][j]);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}