【bzoj4443 scoi2015】小凸玩矩阵

题目描述

小凸和小方是好朋友，小方给了小凸一个 nn × mm (n \leq m)(n≤m) 的矩阵 AA ，并且要求小凸从矩阵中选出 nn 个数，其中任意两个数都不能在同一行或者同一列。现在小凸想知道，选出的 nn 个数中第 kk 大的数的最小值是多少。

输入输出格式

输入格式：

第 11 行读入 33 个整数 n, m, kn,m,k 。

接下来 nn 行，每一行有 mm 个数字，第 ii 行第 jj 个数字代表矩阵中第 ii 行第 jj 列的元素 A_{i,j}Ai,j​ 。

输出格式：

输出包含一行，为选出的 nn 个数中第 kk 大数的最小值。

说明

对于 2020 % 的数据， 1 \leq n \leq m \leq 91≤n≤m≤9

对于 4040 % 的数据， 1 \leq n \leq m \leq 22, 1 \leq n \leq 121≤n≤m≤22,1≤n≤12

对于 100100 % 的数据， 1 \leq k \leq n \leq m \leq 250, 1 \leq A_{i,j} \leq 10^91≤k≤n≤m≤250,1≤Ai,j​≤109

 

题意：很清楚；

题解：

①二分第k大的数的最小值，如果a i,j<=mid 行i向列j连边，最后对行列二分图匹配，如果匹配数>=n-k+1向左二分，反之向左；

②说下证明（%%%Liu_runda）：有一个事实是对于二分图匹配>=n-k+1成立的答案mid是连续的（具有二分性的），假设最后二分出来的为ans，1~ ans-1显然不行(因为小于等于ans的凑不够n-k+1个)，ans+1~max可能不行(因为可能大于等于ans的凑不够k个)；所以ans就一定行吗？是的，因为由二分的定义可知，在ans选取的时候，一定会有n-k+1个小于等于ans的值，一定不会有n-k+1个小于ans的值（否则应该是ans-1）,则一定会有k+1个大于等于ans的值。

自然ans就是第k大了。得到存在性和最优性后，二分是安全舒适的；

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 const int N=;
 int n,m,k,mx,p[N<<],b[N<<],hd[N<<],o,a[N][N];
 struct Edge{int v,nt;}E[N*N];
 char gc(){
     static char *p1,*p2,s[];
     if(p1==p2) p2=(p1=s)+fread(s,,,stdin);
     return (p1==p2)?EOF:*p1++;
 }
 int rd(){
     int x=; char c=gc();
     while(c<''||c>'') c=gc();
     while(c>=''&&c<='') x=(x<<)+(x<<)+c-'',c=gc();
     return x;
 }
 void adde(int u,int v){
     E[o] = (Edge){v,hd[u]}; hd[u] = o++;
     E[o] = (Edge){u,hd[v]}; hd[v] = o++;
 }
 bool match(int u){
     for(int i=hd[u],v;i!=-;i=E[i].nt){
         if(b[v=E[i].v]) continue; b[v]=;
         if(!p[v]||match(p[v])) {
             p[v]=u,p[u]=v;
             return true;
         }
     }
     return false;
 }
 bool check(int mid){
     memset(hd,-,sizeof(hd)); o=;
     memset(p,,sizeof(p));
     for(int i=;i<=n;i++)for(int j=;j<=m;j++)if(a[i][j]<=mid) adde(i,j+n);
     int ans = ;
     for(int i=;i<=n;i++){
         memset(b,,sizeof(b));
         if(!p[i]&&match(i)) ans++;
     }
     return ans>=n-k+;
 }
 int main()
 {    freopen("bzoj4443.in","r",stdin);
     freopen("bzoj4443.out","w",stdout);
     n=rd(); m=rd(); k=rd();
     for(int i=;i<=n;i++)
     for(int j=;j<=m;j++)
     mx = max(a[i][j]=rd(),mx);
     int l=,r=mx;
     while(l<r){
         int mid=(l+r)>>;
         if(check(mid)) r=mid;
         else l=mid+;
     }
     printf("%d\n",l);
     return ;
 }//by tkys_Austin;