【数论】X problem

X problem

    

X问题

    Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
    Total Submission(s): 4358 Accepted Submission(s): 1399

Problem Description

    求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

 

Input

    输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。

 

Output

    对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。

 

Sample Input

3
10 3
1 2 3
0 1 2
100 7
3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
10000 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

　　

 

Sample Output

1
0
3

 

Author

lwg

 

Source

HDU 2007-1 Programming Contest

 

   水题一道……

   显然暴力不行，直接上来中国剩余定理yy一发，求出最小解后直接依次加上最小公倍数就可以了

 

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
int gcd(int a,int b){
	if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){//扩展欧几里得
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int k=ex_gcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y;
	y=tmp-a/b*y;
	return k;
}
int T;
int N,M;
int w[11],r[11];
int China(int N){
	int M=w[1],R=r[1];
	int x,y;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		int d=gcd(M,w[i]);
		int c=r[i]-R;
		if(c%d) {return -1;}
		ex_gcd(M/d,w[i]/d,x,y);
		x=(c/d*x)%(w[i]/d);
		R+=x*M;
		M=M/d*w[i];
		R%=M;
	}
	if(R<0) return R+M;
	else return R;
}
int main(){
	T=read();
	while(T--){
		N=read(),M=read();
		for(int i=1;i<=M;i++) w[i]=read();
		for(int i=1;i<=M;i++) r[i]=read();
		int ret=China(M);
		if(ret==-1||ret>N) {puts("0");continue;} //特判
		int lcm=1,ans=1;
		for(int i=1;i<=M;i++) lcm=lcm*w[i]/gcd(lcm,w[i]);//求所有数的最小公倍数,有个式子是a*b=gcd(a,b)*lcm(a*b);
		while(ret+lcm<N){
	        ans++;
			ret+=lcm;
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
}