证明 U and V={0}时 dim(U+V)=dim(U)+dim(V)

U And V={0} 证明 dim(U+V)=dim(U)+dim(V)
设
{u1,u2,...,uk} 是U的基，{v1,v2...,vr}是V的基，
dim(U)=k ,dim(V)=r dim(U)+dim(V)=k+r.
另一方面 U+V={z|z=u+v,u 属于 U,v 属于 V},因此 Span{u1,u2..,uk,v1,v2...,vr} =U+V
现在我们考查 c1 u1 + c2u2...+ck uk + c(k+1)v(k+1)+...c(k+r)v(k+r)=0 (1式)
U中的向量u,与V中的向量v，由U或V的基线性组合成，

即u=c1u1+c2u2+...ckuk v=c(k+1)v(k+1)+...c(k+r)v(k+r)，

“1式”可表示成u+v=0 -> u=-v,由子空间标量乘法封闭性可知-1 v=-v=u,那么u应该属于V空间与U空间(同理v也一样)，

这个子空间即U and V={0} -> u=0 v=0，
另外u1,u2...uk 以及v1,v2...vk 是线性无关,可知 c1，c2,...ck,c(k+1)....c(k+r) 都只能取0
即u1,u2,...uk,v1,v2...vr 线性无关并且是U+V的基, dim(U+V)=k+r

关于上面u,v同属于U and V 的说明：

如果u=-v  由于子空间定义可知-1 * v =-v 所以-v依然属于V ,而u=-v所以可知道 u也属于V空间

另一解释

如果u=-v  由于v跟-v 必然属于V子空间（理由见注释1），而u等价于v的逆元，所以u也属于V空间

注释1：由公里A4可知，所有向量空间如果有向量v 那么必然有其逆元-v，而V，U都是向量空间

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证明二:

basis(U)={u1,u2...,uk} 的任意线性组合生成任意u向量，但是因为U and V={0} 所以无法生成V中的任意非0向量，

同理basis(V)也一样， 所以 c1u1+c2u2+....ckuk=c(k+1)v(k+1)+....c(k+r)v(k+r)  成立的唯一可能是c1=c2=...=c(k+1)=c(k+r)=0

所以u1,u2,...uk,v1,v2...vr 线性无关