关于Opengl投影矩阵

读 http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html

0.投影矩阵的功能：

将眼睛空间中的坐标点 [图A的视椎体]     映射到     一个(-1, 1)的空间中[图B的立方体]

图A 图B

1.我们要解的是什么问题:

我们要求一个矩阵，使得以下等式成立

[结果坐标]  = [待求矩阵] * [眼睛坐标系的坐标]

2.大致思路是什么：

我们使等式左侧的[Xc, Yc, Zc, Wc]T 坐标  和
等式右侧的[Xe, Ye, Ze, We]T 变为已知， 逆推中间的未知矩阵。

3.推导过程：

不管矩阵的其他几何含义，纯粹从等式成立的角度

3.1求矩阵第四行

a.求眼睛空间中某一点坐标在近平面的投影点坐标

从顶部y方向逆方向看向视椎体，求Xp

   ----------->>>>>>                   等式A

同理，从侧边x方向逆方向看向视椎体, 求Yp

 ----------->>>>>>   等式B

此时第三个分量Zp = -n

现在我们知道：

而进行透视除法时:

观察等式A 和等式B， 他们都除了一个 -Ze，为了好看，我们就设Wc = -Ze这样就能得到一个好看的矩阵第四行：

即 [0, 0 , -1, 0]

3.2求矩阵第一，二行

我们想要将 [l, r]线性映射到 [-1, 1] 和 [b, t]线性映射到[-1,1]（l，r，b，t的含义见最上面图A）

该等式看做y = Ax + B, 即Xn = AXp + B

曲线的斜率是 (1 - (-1)) / (r - l ) = 2 / (r - l)

即Xn = Xp * 2 /（r - l） + B

代入(r, 1)这个点可求得Xn

详细计算过程为：

同理，Yn的计算过程如下：

现在我们把Yp,Xp 用 Ye,Xe代替，则有

观察上式他们都被-Ze = Wc 相除了， 于是我们的矩阵第一行，第二行变为

3.3求矩阵第三行

我们知道Z与x，y没关系，参考上面的X,Y都除以了-Ze，这里我们也这样

于是：

在眼睛空间中， We是1，等式变成；

-n 对应 -1， -f 对应 1

求出A和B

   

 

现在Zn变成了：

终于我们求得最终的矩阵为：

如果视锥体退步成一个上下对称，左右对称的视锥体，即：

那么，投影矩阵就变为我们天天见到的投影矩阵：