Power Calculus 快速幂计算 (IDA*/打表)

原题：1374 - Power Calculus

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题意：

求最少用几次乘法或除法，可以从x得到x^n。（每次只能从已经得到的数字里选择两个进行操作）

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举例：

x^31可以通过最少6次操作得到(5次乘，1次除)

x^2 = x*x

x^4 = (x^2)*(x^2)

x^8 = (x^4)*(x^4)

x^16 = (x^8)*(x^8)

x^32 = (x^16)*(x^16)

x^31 = (x^32)÷x

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分析：

可以看到，每次从已得到的数字中选取两个操作，这样就有了枚举的思路。

这道题又是没有明显的枚举次数上限，所以很自然想到了用迭代加深搜索算法。

因为n的数据范围是1～1000，所以可以通过计算，预设最大的枚举层次数上限MAXD是13.

而且可以发现如果当前的数字num*2^(MAXD-d) < n,就没有继续搜的必要了，回溯(num是通过前d步得到的数字)

所以我们的IDA*算法思路基本上就完全了。

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进一步优化：

如果只依靠上述的思路，写出来的程序要跑2.7s(上限是3s)，所以属于刚刚好AC.

我们这里有很多种优化方法，我就说两个我用了的。

1. 寻找幂的时候，我们每次不应该从已得到数字里任意抽两个，这样效率很低。而且很容易出一道，我们每一次都是操作上一步得到的数字，所以这样只需要枚举另一个操作数就够了。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 using namespace std;
 const int MAXD = ;
 int n, f[<<(MAXD - )], maxd, a[];

 bool dfs(int d) {
     if (a[d] == n) return true;
     if (d < maxd && (a[d]<<(maxd - d)) >= n) {
         for (int i = d; i >= ; i--)
             for (int j = ; j < ; j++) {
             int nextn = j ? a[d] + a[i] : a[d] - a[d - i];
             if (nextn <=  || f[nextn]) continue;
             f[nextn] = ;
             if (nextn <= ) continue;
             a[d + ] = nextn;
             if (dfs(d + )) return true;
             f[nextn] = ;
         }
     }
     return false;
 }
 int main() {
     a[] = ;
     while (scanf("%d", &n) ==  && n) {
         if (n == ) { printf("0\n"); continue;}
         for (maxd = ; maxd < MAXD; maxd++) {
             memset(f, , sizeof(f));
             f[] = ;
             if (dfs()) break;
         }
         printf("%d\n", maxd);
     }
     return ;
 }

2.打表。

因为n的范围是1～1000， 所以我们可以用稍微慢一点的算法，提前算出来结果，保存到文件里，然后再粘贴到提交的代码里。

比如我的代码是

　　　　

 int main() {
     freopen("ans_table", "w", stdout);
     /*
         some code.
     */
     for(n = ; n <= ; n++) {
         if (n == ) { printf("ans[%d] = 0;\n", i); continue;}
         for (maxd = ; maxd < MAXD; maxd++) {
         /*
             some code.
         */
             if (dfs(, )) break;
         }
         printf("ans[%d] = %d;\n", i, maxd);
     }
     return ;
 }

这样我们就本地生成了文件"ans_table"。

里面的答案都是形如

ans[1] = 0;
ans[2] = 1;
ans[3] = 2;
ans[4] = 2;
ans[5] = 3;
ans[6] = 3;
ans[7] = 4;
ans[8] = 3;
ans[9] = 4;
ans[10] = 4;
ans[11] = 5;
ans[12] = 4;

相当于直接生成代码形式的表格。

　　　　速度自然是0ms