BZOJ 1185 [HNOI2007]最小矩形覆盖：凸包 + 旋转卡壳

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1185

题意：

　　给出二维平面上的n个点，问你将所有点覆盖的最小矩形面积。

题解：

　　先找出凸包，然后旋转卡壳。

　　在旋转卡壳中有一个结论：最小覆盖矩形一定有一条边在凸包上。

　　所以先枚举矩形在凸包上的那条边(p[i],p[i+1])，然后利用单调性找出p[i]的对踵点p[u]。

　　至于左右两侧的切点p[l]和p[r]，要利用它们连线在直线(p[i],p[i+1])上投影长度的单调性求出。

　　最后将找出的矩形顶点再做一遍极角排序即可。

AC Code:

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <math.h>
 #include <algorithm>
 #define MAX_N 50005
 #define INF_LF 1e14
 #define EPS 1e-7

 using namespace std;

 struct Coor
 {
     double x,y;
     Coor(double _x,double _y) { x=_x,y=_y; }
     Coor(){}
     friend Coor operator + (const Coor &a,const Coor &b)
     {
         return Coor(a.x+b.x,a.y+b.y);
     }
     friend Coor operator - (const Coor &a,const Coor &b)
     {
         return Coor(a.x-b.x,a.y-b.y);
     }
     friend Coor operator * (const Coor &a,double b)
     {
         return Coor(a.x*b,a.y*b);
     }
     friend Coor operator / (const Coor &a,double b)
     {
         return Coor(a.x/b,a.y/b);
     }
     friend double len(const Coor &a,const Coor &b)
     {
         return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
     }
     friend double dot(const Coor &a,const Coor &b)
     {
         return a.x*b.x+a.y*b.y;
     }
     friend double cross(const Coor &a,const Coor &b)
     {
         return a.x*b.y-a.y*b.x;
     }
     friend double area(const Coor &a,const Coor &b,const Coor &c)
     {
         return fabs(cross(b-a,c-a));
     }
     friend double length(const Coor &a)
     {
         return sqrt(dot(a,a));
     }
     friend double pro(const Coor &a,const Coor &b)
     {
         return dot(a,b)/length(b);
     }
     friend Coor proc(const Coor &a,const Coor &b,const Coor &c)
     {
         Coor v=c-b;
         return b+v*dot(v,a-b)/dot(v,v);
     }
 };

 int n,tot=;
 double ans=INF_LF;
 Coor p[MAX_N];
 Coor con[MAX_N];
 Coor rect[MAX_N];

 void read()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
 }

 bool cmp(const Coor &a,const Coor &b)
 {
     double c=cross(a-p[],b-p[]);
     return c!= ? c> : len(p[],a)<len(p[],b);
 }

 inline bool eq(double x,double y)
 {
     return fabs(x-y)<EPS;
 }

 void graham()
 {
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         if(p[i].y<p[].y || (p[i].y==p[].y && p[i].x<p[].x))
         {
             swap(p[i],p[]);
         }
     }
     sort(p+,p++n,cmp);
     con[++tot]=p[],con[++tot]=p[];
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         while(tot>= && cross(con[tot]-con[tot-],p[i]-con[tot])<=) tot--;
         con[++tot]=p[i];
     }
 }

 inline int mod(int x)
 {
     return ((x-)%tot+tot)%tot+;
 }

 void rc()
 {
     int u=,l=,r=;
     for(int i=;i<=tot;i++)
     {
         if(con[i].x<con[l].x || (con[i].x==con[l].x && con[i].y>con[l].y)) l=i;
         if(con[i].x>con[r].x || (con[i].x==con[r].x && con[i].y<con[r].y)) r=i;
     }
     for(int i=;i<=tot;i++)
     {
         while(area(con[i],con[mod(i+)],con[u])<area(con[i],con[mod(i+)],con[mod(u+)])) u=mod(u+);
         while(pro(con[r]-con[l],con[mod(i+)]-con[i])<pro(con[r]-con[mod(l+)],con[mod(i+)]-con[i])) l=mod(l+);
         while(pro(con[r]-con[l],con[mod(i+)]-con[i])<pro(con[mod(r+)]-con[l],con[mod(i+)]-con[i])) r=mod(r+);
         double w=pro(con[r]-con[l],con[mod(i+)]-con[i]);
         double h=area(con[i],con[mod(i+)],con[u])/length(con[mod(i+)]-con[i]);
         if(w*h<ans)
         {
             ans=w*h;
             Coor v=con[mod(i+)]-con[i];
             rect[]=proc(con[l],con[i],con[mod(i+)]);
             rect[]=proc(con[r],con[i],con[mod(i+)]);
             rect[]=proc(con[l],con[u],con[u]+v);
             rect[]=proc(con[r],con[u],con[u]+v);
         }
     }
     for(int i=;i<;i++)
     {
         if(rect[i].y<rect[].y || (rect[i].y==rect[].y && rect[i].x<rect[].x))
         {
             swap(rect[],rect[i]);
         }
     }
     sort(rect+,rect+,cmp);
     for(int i=;i<;i++)
     {
         if(eq(rect[i].x,)) rect[i].x=;
         if(eq(rect[i].y,)) rect[i].y=;
     }
 }

 void work()
 {
     graham();
     rc();
     printf("%.5f\n",ans);
     for(int i=;i<;i++) printf("%.5f %.5f\n",rect[i].x,rect[i].y);
 }

 int main()
 {
     read();
     work();
 }