BZOJ 3534: [Sdoi2014]重建(Matrix Tree)

传送门

解题思路

　　比较容易看的出来矩阵树定理。然后就怒送一Wa，这个矩阵树定理是不能直接用的。题目要求的其实是这个玩意。

\[ans=\sum\limits_{Tree}( \prod\limits_{e\in Tree}p_e*\prod\limits_{e\notin Tree}(1-p_e))
\]

而矩阵树能求的东西本质上其实是每棵生成树的积的和，说人话就是这个。

\[now=\sum\limits_{Tree}\prod\limits_{e\in Tree}w_e
\]

这个形式跟上面那个很像，但还是有点不一样。我们考虑将上面那个式子化简。根据

\[\prod\limits_{e\notin Tree}(1-p_e)=\frac{\prod\limits_e (1-p_e)}{\prod\limits_{e\in Tree}(1-p_e)}
\]

把这玩意往最上面那个式子里一带，神奇的事情发生了：

\[ans=\prod\limits_e(1-p_e)*\sum\limits_{Tree} \frac{\prod\limits_{e\in Tree}p_e}{\prod\limits_{e\in Tree}(1-p_e)}
\]

前面这个玩意可以直接算出来。后头这个玩意直接上矩阵树，把邻接矩阵的边权改成\(\frac{p_e}{1-p_e}\)就行了。

通过这道题，让我们明白了原来矩阵树里的那个边权是可以自己规定的，算出来的结果为每个生成树的积之和。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>

using namespace std;
const int MAXN = 55;
const double eps = 1e-8;

int n;
double ans=1.0,base=1.0,f[MAXN][MAXN];

inline void Matrix_tree(){
	double t;int p;
	for(int i=1;i<n;i++){
		p=i;
		for(int j=i+1;j<n;j++)
			if(fabs(f[p][i])<fabs(f[j][i])) p=j;
		if(p!=i) swap(f[i],f[p]);
		for(int j=i+1;j<n;j++){
			t=f[j][i]/f[i][i];
			for(int k=i;k<n;k++)
				f[j][k]-=t*f[i][k];
		}
		ans*=f[i][i];
	}
}

int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%lf",&f[i][j]);if(i==j) continue;
			if(f[i][j]>1.0-eps) f[i][j]-=eps;
			if(i>j && f[i][j]>eps) base*=(1-f[i][j]);
			f[i][j]=f[i][j]/(1-f[i][j]);
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=j)
			f[i][i]+=f[i][j],f[i][j]=-f[i][j];
	Matrix_tree();printf("%.10lf",ans*base);
	return 0;
}