2018-01-04 浅尝The Little Prover一书, 重逢Chez Scheme

书开篇之前说, 本书的目标的一个例子: 证明(reverse (reverse x))对于任何列表x, 结果总是x.

(安装Chez Scheme的200字请看最后)

书刚开始, 就用到一个scheme中没有的函数atom和equal, 用中文定义应是如下:

注: 多谢 @张砸锅 指正, 下面的"为空?"不正确, 名称应该是"不是非空列表?". 原文用atom一词, 就不直译了. 鉴于似乎不影响本文后面的例子, 恕我不一一纠正了.

(define 为空?
  (lambda (列表)
    (if (atom? 列表)
        'nil
        't)))

(define 相等?
  (lambda (甲 乙)
    (if (equal? 甲 乙)
      't
      'nil)))

书的第一个例子是在甲乙的值未知时, 对下面表达式求值

(相等? '那个啥 (为空? (cons 甲 乙)))

(cons 甲 乙) 不论甲乙值为何, 都不会为空, 因此(为空? (cons 甲 乙))返回'nil. 而(相等? '那个啥 'nil)显然返回'nil, 因此这个表达式的值必定是'nil.

这里"(为空? (cons 甲 乙))肯定返回'nil"被认为是Axiom(公理). 由这个公理推导出表达式的值.

第八页列出了在Scheme"世界"里与cons相关的几个公理:

(定义定律 cons不为空 (甲 乙)
  (相等? (为空? (cons 甲 乙)) 'nil)
(定义定律 car/cons (甲 乙)
  (相等? (car (cons 甲 乙)) 甲)
(定义定律 cdr/cons (甲 乙)
  (相等? (cdr (cons 甲 乙)) 乙)

之后就是equal相关的(交换律, 自身相等). 接下去是一系列基于这几个定律的推导演绎. 而推导演绎法则(?不知说法是否恰当)本身被定义为如下:

对定律 (定义定律 名称 (x1, x2, ...xn) 定律内容), "定律内容"中的x1_{xn可以被任何表达式e1}en替换, 得出的新定律只要符合格式(相等? p q)或者(相等? q p), q就可以被置换为p.

举例如下:

之前的定律car/cons

(定义定律 car/cons (甲 乙)
  (相等? (car (cons 甲 乙)) 甲)

可以作用于下面表达式:

(为空? (car (cons (car a) (cdr b))))

只要把定律内容"(相等? (car (cons 甲 乙)) 甲)", 把"甲"替换为(car a), "乙"替换为(cdr b)之后就得出:

(相等? (car (cons (car a) (cdr b))) (car a))

根据推导法, (car (cons (car a) (cdr b))) 等同于 (car a), 因此表达式等同于

(为空? (car a))

看起来有些绕, 因此作者提供了辅助推导工具the-little-prover/j-bob. 第一章完(共十章).

感觉上是把定理以及推导的方法用代码表达, 进而赋予了程序证明定理的能力.

---

为了运行书中的代码, 决定装Chez. 上次用好像还是在学校机房, 因为当时只有Petite Scheme是免费可以装在个人机器, 而Chez还是商业软件. 几年过去, Dybvig教授离职去了思科, 而Chez Scheme随后开源了(cisco/ChezScheme). 今天尝试了下载9.5版, 在Mac上编译生成了Petite和Chez(中间碰到了这个问题).

运行后的提示即眼熟又生疏. 个人的力量毕竟有限, 不知道他一开始(1985年)就把Chez开源会不会改变今天的IT格局呢? 哪位开发者穿越回去试试改变历史吧.

$ a6osx/bin/scheme
Chez Scheme Version 9.5
Copyright 1984-2017 Cisco Systems, Inc.

当然要尝试中文标识符, 蛮好:

> (cons '火腿 '(鸡蛋))
(火腿 鸡蛋)
> (define 阶乘
    (lambda (x)
      (if (zero? x)
          1
          (* x (阶乘 (1- x))))))
> (阶乘 3)
6

发现一个小问题, 在控制台下, 在输入后括号时, 匹配前括号的光标定位有错位, 猜测是由于中文字符的宽度不同导致的. 在之后使用中, 发现对上一个命令进行编辑也有显示问题. 这使得在交互环境中使用中文命名有了不小障碍(想想在上个程序基础上任何一点修改都要重新输入整个程序). 试着在源文件中编写'阶乘'函数后导入, 发现中文文件名也不支持(多谢 @Eternal Chaos 指出, 已有问题报告command-line-arguments can't read umlauts with utf-8 encoding · Issue #81 · cisco/ChezScheme), 不过导入成功.

看了一点书之后发现...好像装了也不能直接用, 没有那个J-Bob好像基本上跑不了什么东西.