数论 + 容斥 - HDU 4059 The Boss on Mars

The Boss on Mars

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Mean:

给定一个整数n，求1~n中所有与n互质的数的四次方的和.(1<=n<=1e8)

analyse:

看似简单，倘若自己手动推公式的话，还是需要一定的数学基础.

总的思路：先求出sum1=(1^4)+(2^4)+...(n^4)，再求出sum2=（1~n中与n不互质的数的四次方的和），answer=sum1-sum2.

如何求sum1呢？

有两种方法：

　　1.数列差分.由于A={Sn}={a1^4+a2^4+...an^4}对应一个五阶线性差分方程，只需要求出这个五阶线性差分方程的系数即可.

　　有关数列差分求幂数和通项的知识，click here.

　　2.利用低次幂数和来递推高次幂数和公式.

最终求得的公式为：Sn=(n*(n+1)*(2n+1)*(3*n*n+3*n-1))/30.

注意，上式中最后有除法，而我们的最终答案要对1e9+7取余，所以需要求30对1e9+7的模逆元.

由于1e9+7是质数，所以可以直接使用结论：

　　a % m = (b/c)%m

　　a % m = b * c ^(m-2)%m ( m为素数 )

证明：

　　 b = a * c % m;

则有：b = a % m * c %m;

根据费马小定理:

　　　a^(p-1)= 1 %p;(p是素数)

可推出：

　　a%m

　　= a*1%m = a * c^(m-1)%m

　　= a*c*c^(m-2)%m

　　= b*c^(m-2)%m;

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求sum2时需要用容斥，当然直接容斥暴力统计的话也会超时.

注意到：

　　　　2^4+4^4+6^4+8^4 = 2^4*(1^4+2^4+3^4+4^4) .

所以再求sum2时仍然可以使用幂数求和公式，这样一来时间复杂度就非常低了.

Time complexity: O(logn)

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