题解-Railgun

题面

Railgun

\(T\) 组测试数据，每次给定 \(n,k\)，求（\(F(i)\) 为斐波那契数列第 \(i\) 项）：

\[\sum_{1\le x_i\le n(1\le i\le k)}F(\sum x_i-k+1)
\]

数据范围：\(1\le T\le 100\)，\(1\le n,k\le 10^9\)。

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蒟蒻语

小蒟蒻上午的训练赛头很晕，于是就一直在干这题。

推了 \(10\) 页草稿纸，推出了很多巧妙的东西（

可惜，天有绝蒻之路，小蒟蒻最后没做出来，幸得爆零。

赛后神仙教了蒟蒻做法，太巧妙了，比出题人的题解强好多倍。

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蒟蒻解

把所有 \(x_i\) 都 \(-1\)，开始推式：

\[\begin{split}
&\sum_{0\le x_i\le n-1}F(\sum x_i+1)\\
=&\sum_{0\le x_i\le n-1}
\begin{bmatrix}
1&0\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&1\\
1&0\\
\end{bmatrix}
^{\sum x_i}
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
\end{bmatrix}\\
=&
\begin{bmatrix}
1&0\\
\end{bmatrix}
\left(
\sum_{0\le x_i\le n-1}
\begin{bmatrix}
1&1\\
1&0\\
\end{bmatrix}
^{\sum x_i}
\right)
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
\end{bmatrix}\\
=&
\begin{bmatrix}
1&0\\
\end{bmatrix}
\left(
\sum_{i=0}^{n-1}
\begin{bmatrix}
1&1\\
1&0\\
\end{bmatrix}
^i
\right)^k
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
\end{bmatrix}
\end{split}
\]

现在唯一的问题是，如何 \(\Theta(\log n)\) 求出 \(\sum\limits_{i=0}^{n-1}\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}^i\)？

当 \(i=0\) 的时候，\(\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}^i=E\)，\(E\) 是单位矩阵，\(E_{i,i}=1\)，其他位置为 \(0\)。

神仙的做法是倍增，维护：

\[sm_k=\sum_{i=0}^{2^k-1}\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}^i
\]

然后这个东西是可以 \(\Theta(\log n)\) 递推的，于是 \(\sum\limits_{i=0}^{n-1}\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}^i\) 就可以 \(\Theta(\log n)\) 计算了。

另一种方法是矩阵开两倍空间，做矩阵快速幂求矩阵。

但是无论用哪种方法，求矩阵的 \(k\) 次幂还是要矩阵快速幂的。

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define x first
#define y second
#define be(a) a.begin()
#define en(a) a.end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int mod=1e9+7;

//Matrix
const int M=2;
struct Matrix{
	int arr[2][2];
	Matrix(){memset(arr,0,sizeof arr);}
	Matrix(int x,int y,int z,int w){
		arr[0][0]=x,arr[0][1]=y;
		arr[1][0]=z,arr[1][1]=w;
	}
	int*operator[](int x){return arr[x];}
	friend Matrix operator+(Matrix a,Matrix b){
		Matrix res;
		for(int i=0;i<M;i++)
			for(int j=0;j<M;j++)
				res[i][j]=(a[i][j]+b[i][j])%mod;
		return res;
	}
	friend Matrix operator*(Matrix a,Matrix b){
		Matrix res;
		for(int k=0;k<M;k++)
			for(int i=0;i<M;i++)
				for(int j=0;j<M;j++)
					(res[i][j]+=(ll)a[i][k]*b[k][j]%mod)%=mod;
		return res;
	}
};
const Matrix E(1,0,0,1);
Matrix Pow(Matrix a,int x){
	Matrix res(E);
	for(;x;a=a*a,x>>=1)if(x&1) res=res*a;
	return res;
}
void Print(Matrix a){
	cout<<"++++++++++++\n";
	cout<<a[0][0]<<','<<a[0][1]<<'\n';
	cout<<a[1][0]<<','<<a[1][1]<<'\n';
	cout<<"------------\n";
}
Matrix key(1,0,0,0);
Matrix pa[32],sm[32];

//Main
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	sm[0]=E,pa[0]=Matrix(1,1,1,0);
	for(int i=1;i<32;i++){
		pa[i]=pa[i-1]*pa[i-1];
		sm[i]=sm[i-1]+pa[i-1]*sm[i-1];
	}
	// for(int i=0;i<5;i++){
	// 	cout<<"i="<<i<<'\n';
	// 	Print(sm[i]),Print(pa[i]);
	// }
	int T; cin>>T;
	while(T--){
		int n,k; cin>>n>>k;
		Matrix res;
		for(int i=0;i<32;i++)if(n>>i&1)
			res=res*pa[i]+sm[i];
		res=key*Pow(res,k)*key;
		cout<<res[0][0]<<'\n';
	}
	return 0;
}

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祝大家学习愉快！