[数据结构]Dijkstra算法求单源最短路径

概念

　　求带权有向图中某个源点到其余各个顶点的最短路径，最常用的是Dijkstra算法。该算法设置一个集合S记录已求得的最短路径的顶点，可用一个数组s[]来实现，初始化为0，当s[Vi]=1时表示将顶点Vi放入S中，初始时把源点V0放入S中。此外，在构造过程中还设置了两个辅助数组：

　　dist[]：记录了从源点v0到其他各个顶点当前的最短路径长度，dist[i]初值为arcs[V0][i]。

　　path[]：path[i]表示从源点到顶点i之间的最短路径的前驱结点，在算法结束时，可根据其值追溯得到源点V0到定点Vi的最短路径。

　　假设从定点0出发，即V0=0，集合S最初只包含顶点0，邻接矩阵arcs表示带权有向图，arcs[i][j]表示有向边

实例及解析

　　

分析步骤（注意这是个有向图！）：

1. 第一趟，由于我们从V1开始，可以直接遍历到V2，V5；我们可以看到V1-V2的权值为10，V1-V5的权值为5，所以我们选最短的那一条路径，即V1-V5。
2. 第二趟，我们可以从V1,V5，可以直接遍历到V2，V3，V4；V5-V2的权值为8(我们也可以从v1-v2，但是从v1-v5-v2的路径更短)，V5-V3的权值为14，V5-V4的权值为7，我们选择最短的那一条路径，即V5-V4。
3. 第三趟，我们可以从V1,V5,V4出发，可以遍历到V2,V3；V1-V5-V2为8，V1-V5-V4-V3为13，所以选最短的那一条，即V1-V5-V2为8。
4. 第四趟，只剩下最后一个顶点，也就是V3，从V1-V5-V2-V3路径长度为9，遍历完成。

算法复杂度

　　这个算法的时间复杂度为O（|V|²），如果要找出所有结点对之间的最短距离，则需要对每个结点运行一次Dijkstra算法，时间复杂度为O（|V|³）。

注意

 如果边上带有负权值，Dijkstra算法并不使用。若允许边上带有负权值，则可能出现当与S内某点以负边连接的点确定其最短路径时，它的最短路径加上这条负边的权值结果可能小于a原先确定的最短路径长度，而此时a在Dijkstra算法下是无法更新的。