【BZOJ2142】礼物（扩展lucas定理，中国剩余定理合并方程）

题意：有n件礼物，m个人，每个人分别需要w[i]件礼物，求分礼物的不同方案数 mod P

提示：设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。

1≤n≤10^9，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。

P不一定为质数

思路：经推导答案即为n!/(w[i]!)，i=1..n

考虑P不是质数

将P分解为提示中所说的形式，可以发现所有pt^ct都是互质的，所以我们可以用下图的中国剩余定理合并

From http://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/39891263

然后对于每个pi^ai，我们进行以下处理：

将分子和分母化为x*pi^y的形式

然后分母的x部分与pi互质，可以求逆元，分子分母的y部分直接相减即可

然后我们处理阶乘

以19为例，将19!化为x*pi^y的形式，其中pi=3，ai=2 则有

19!%9=(1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19) %9

=(1*2*4*5*7*8*10*11*13*14*16*17*19)*3^6*(1*2*3*4*5*6) %9

式子的左半部分是不为3的倍数的数，存在长度为p^a的循环节 求出一个循环节 快速幂处理 然后处理剩余部分

右半部分是6!%9 递归处理即可

用这样的思路就可以换解决C(n,m) mod p，p不为质数的情况了

 var a:array[..]of int64;
     n,m,i:longint;
     ans,s,mo:int64;

 function mult(x,y,p:int64):int64;
 var tmp:int64;
 begin
  mult:=; tmp:=x;
  while y> do
  begin
   if y and = then mult:=mult*tmp mod p;
   tmp:=tmp*tmp mod p;
   y:=y>>;
  end;
 end;

 procedure exgcd(a,b:int64;var d,x,y:int64);
 begin
  if b= then
  begin
   d:=a; x:=; y:=;
  end
   else
   begin
    exgcd(b,a mod b,d,y,x);
    y:=y-(a div b)*x;
   end;
 end;

 function inv(a,n:int64):int64;
 var d,x,y:int64;
 begin
  exgcd(a,n,d,x,y);
  if d= then exit((x+n) mod n);
  exit(-);
 end;

 function fac(n,p,pr:int64):int64;
 var i,re,r:int64;
 begin
  if n= then exit();
  re:=; i:=;
  while i<=pr do
  begin
   if i mod p> then re:=re*i mod pr;
   inc(i);
  end;

  re:=mult(re,n div pr,pr);
  r:=n mod pr;
  i:=;
  while i<=r do
  begin
   if i mod p> then re:=re*i mod pr;
   inc(i);
  end;

  exit(re*fac(n div p,p,pr) mod pr);
 end;

 function c(n,m,p,pr:int64):int64;
 var x,y,z,t,tmp:int64;
 begin
  if n<m then exit();
  x:=fac(n,p,pr);
  y:=fac(m,p,pr);
  z:=fac(n-m,p,pr);
  c:=;
  t:=n;
  while t> do
  begin
   c:=c+t div p;
   t:=t div p;
  end;
  t:=m;
  while t> do
  begin
   c:=c-t div p;
   t:=t div p;
  end;
  t:=n-m;
  while t> do
  begin
   c:=c-t div p;
   t:=t div p;
  end;
  tmp:=x*inv(y,pr) mod pr*inv(z,pr) mod pr*mult(p,c,pr) mod pr;
  exit(tmp*(mo div pr) mod mo*inv(mo div pr,pr) mod mo);
 end;

 function lucas(n,m:int64):int64;
 var x,re,i,pr:int64;
 begin
  i:=; x:=mo; re:=;
  while i<=x do
  begin
   if x mod i= then
   begin
    pr:=;
    while x mod i= do
    begin
     x:=x div i; pr:=pr*i;
    end;
    re:=(re+c(n,m,i,pr)) mod mo;
   end;
   inc(i);
  end;
  exit(re);
 end;

 begin
  assign(input,'bzoj2142.in'); reset(input);
  assign(output,'bzoj2142.out'); rewrite(output);
  readln(mo);
  readln(n,m);
  for i:= to m do
  begin
   read(a[i]); s:=s+a[i];
  end;
  if s>n then
  begin
   writeln('Impossible');
   close(input);
   close(output);
   exit;
  end;
  ans:=;
  for i:= to m do
  begin
   ans:=ans*lucas(n,a[i]) mod mo;
   n:=n-a[i];
  end;
  writeln(ans);

  close(input);
  close(output);
 end.