【hdu6185】Covering（骨牌覆盖）

2017ACM/ICPC广西邀请赛-重现赛1004Covering

题意

n*4的格子，用1*2和2*1的砖块覆盖。问方案数(mod 1e9+7)。（n不超过1e9）

题解

递推了个式子然后错位相减。

f[n] =f[n-1]+4f[n-2]+2f[n-3]+3f[n-4]+2f[n-5]+2f[n-6]+..+(x%2?2:3)f[n-x]

f[n-2]= f[n-3]+4f[n-4]+2f[n-5]+3f[n-6]+..+(x%2?2:3)f[n-x]

f[n] =f[n-1]+5f[n-2]+ f[n-3]-f[n-4]

再用矩阵快速幂。

另外，这题可以先用暴力的dfs或者状态压缩dp求得前几项，然后套BM板子得出递推式。

不过，官方题解的方法是状态压缩加矩阵快速幂优化：

只考虑一列的状态，0表示没有被覆盖，1表示被覆盖了，只可能有0000，1111，1001，0110，1100，0011。

dp[i][j]表示前i-1列覆盖满，第i列状态为j的方案数。考虑转移,然后a[i][j]==1就是状态i可以由状态j转移过来，那么就可以矩阵快速幂加速了。

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51nod 上的骨牌覆盖 V2，类似。a数组可以dfs出来。

代码

typedef long long ll;
typedef vector<ll> VI;
typedef vector<VI> Mat;
const ll mod=1000000007;
Mat mul(Mat &a,Mat &b){
	Mat c(SZ(a), VI(SZ(b[0])));
	rep(i,0,SZ(a))rep(j,0,SZ(b[0]))rep(k,0,SZ(b))
		c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%mod;
	return c;
}
Mat qpow(Mat a,ll b){
	Mat c(SZ(a), VI(SZ(a)));
	rep(i,0,SZ(a))c[i][i]=1;
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))if(b&1)c=mul(c,a);
	return c;
}

int main(){
	Mat a(4,VI(4));
	a[0]=VI{1,5,1,-1};
	rep(i,0,3)a[i+1][i]=1;
	ll n;
	while(~scanf("%lld",&n)){
		if(n==1)puts("1");
		else if(n==2)puts("5");
		else if(n==3)puts("11");
		else if(n==4)puts("36");
		else{
			Mat c=qpow(a,n-4);
			printf("%lld\n",((c[0][0]*36+c[0][1]*11+c[0][2]*5+c[0][3])%mod+mod)%mod);
		}
	}
	return 0;
}

状态压缩

int main() {
	Mat a(6,VI(6));
	a[0]=VI{1,1,1,1,1,0};
	a[1]=VI{1,0,0,0,0,0};
	a[2]=VI{1,0,0,1,0,0};
	a[3]=VI{1,0,1,0,0,0};
	a[4]=VI{1,0,0,0,0,1};
	a[5]=VI{0,0,0,0,1,0};
	ll n;
	while(~scanf("%lld",&n)){
		printf("%lld\n",qpow(a,n)[0][0]);
	}
	return 0;
}

骨牌覆盖 V2

const int N=1<<5;
int n,m;
Mat a(N,VI(N));
void dfs(int c,int pre,int cur){
	if(c>n)return;
	if(c==n){
		++a[pre][cur];
		return;
	}
	dfs(c+1,pre<<1,cur<<1|1);//竖着放
	dfs(c+1,pre<<1|1,cur<<1);//不能放
	dfs(c+2,pre<<2,cur<<2);//横着放
}
int main() {
	while(~scanf("%d%d",&m,&n)){
		rep(i,0,SZ(a))rep(j,0,SZ(a[i]))a[i][j]=0;
		dfs(0,0,0);
		printf("%lld\n",qpow(a,m)[0][0]);
	}
	return 0;
}