Codeforces 453B Little Pony and Harmony Chest：状压dp【记录转移路径】

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/453/B

题意：

　　给你一个长度为n的数列a，让你构造一个长度为n的数列b。

　　在保证b中任意两数gcd都为1的情况下，使得 ∑|a[i]-b[i]|最小。

　　让你输出构造的数列b。

　　(1<=n<=100, 1<=a[i]<=30)

题解：

　　因为1<=a[i]<=30，所以有1<=b[i]<=60，此时才有可能最优。

　　因为b中任意两数gcd为1，所以对于一个质因子p[i]只会在一个b[i]中用到。

　　所以先处理出1到60这些数所要用到的质因子，状压存在数组f[i]中，第i位为1表示要用到质因子p[i]。

　　另外，这题中59这个质因子是用不到的。

　　因为它能构成的60以内的数只有59，然而对于最大的a[i]=30来说，b[i]选59和选1是等效的。

　　这样就只剩16个质因子了。否则用17个会被卡时间和空间。

　　然后开始状压dp。

　　表示状态：

　　　　dp[i][state] = min value

　　　　表示该构造b[i]了，质因子的状态为state，此时原式的最小值。

　　如何转移：

　　　　dp[i+1][state|(1<<j)] = min dp[i][state] + |a[i]-j|

　　　　枚举当前b[i]选了j，然后转移。

　　边界条件：

　　　　dp[0][0] = 0

　　　　ohters = INF

　　　　改构造b[0]了，此时一个质因子还没用过，原式初始为0。

　　找出答案：

　　　　枚举质因子状态state，显然最小的dp[n][state]为答案。

　　然而现在只是知道了原式能达到的最小值，并不知道构造出的b数列。

　　所以在转移的时候要记录下转移路径。

　　新开两个数组：

　　　　sel[i][state]：表示从上一步转移到这一步时，b[i-1]选了哪个数字

　　　　sta[i][state]：若状态(i,state)是由(i-1,pre)转移而来的，则sta[i][state]为pre的值。

　　所以每次转移的时候将路径和所选的数记录下来：

　　　　if(dp[i][state]+d < dp[i+1][nex])

　　　　{

　　　　　　dp[i+1][nex]=dp[i][state]+d;

　　　　　　sel[i+1][nex]=j;

　　　　　　sta[i+1][nex]=state;

　　　　}

　　然后从最终答案的那一步，一直往前一个状态跳，就能找出构造的b数列了。

AC Code:

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <stack>
 #define MAX_N 105
 #define MAX_P 20
 #define MAX_D 65
 #define MAX_S ((1<<16)+50)
 #define INF 1000000000

 using namespace std;

 const int p[]={,,,,,,,,,,,,,,,};

 int n;
 int a[MAX_N];
 int dp[MAX_N][MAX_S];
 int sel[MAX_N][MAX_S];
 int sta[MAX_N][MAX_S];
 int f[MAX_D];

 inline int abs(int x)
 {
     return x> ? x : -x;
 }

 int get_f(int x)
 {
     int state=;
     for(int i=;i<;i++)
     {
         while(x%p[i]==)
         {
             x/=p[i];
             state|=(<<i);
         }
     }
     return state;
 }

 void cal_f()
 {
     for(int i=;i<=;i++)
     {
         f[i]=get_f(i);
     }
 }

 void cal_dp()
 {
     memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
     dp[][]=;
     for(int i=;i<n;i++)
     {
         for(int state=;state<(<<);state++)
         {
             if(dp[i][state]<INF)
             {
                 for(int j=;j<=;j++)
                 {
                     if(!(state&f[j]))
                     {
                         int nex=(state|f[j]);
                         int d=abs(a[i]-j);
                         if(dp[i][state]+d<dp[i+][nex])
                         {
                             dp[i+][nex]=dp[i][state]+d;
                             sel[i+][nex]=j;
                             sta[i+][nex]=state;
                         }
                     }
                 }
             }
         }
     }
     int ans=INF;
     int now;
     for(int state=;state<(<<);state++)
     {
         if(dp[n][state]<ans)
         {
             ans=dp[n][state];
             now=state;
         }
     }
     stack<int> stk;
     for(int i=n;i>=;i--)
     {
         stk.push(sel[i][now]);
         now=sta[i][now];
     }
     while(!stk.empty())
     {
         cout<<stk.top()<<" ";
         stk.pop();
     }
     cout<<endl;
 }

 int main()
 {
     cin>>n;
     for(int i=;i<n;i++) cin>>a[i];
     cal_f();
     cal_dp();
 }