CF1167E. Range Deleting

题意

给定长度为\(n\)的数组\(a\),其中任意\(a_i \leq x\)

定义\(f(l,r)\)为删除\(a\)中值域在\([l,r]\)的数后剩余的数组.

统计满足\(1\leq l \leq r \leq x\)且\(f(l,r)\)是非严格不下降序列的数对\((l,r)\)的数量。

题解

首先想想就可以发现这个\(l\)和\(r\)是有单调性的。那思路就可以往双指针/二分那边靠一下。

现在的问题就是怎么做到\(O(1)\)或者\(O(\log n)\) 判断删除一段区间后的序列是否合法。

把最后的序列拆成两段：权值在\((1,l-1)\)和权值在\((r+1,x)\)的。

发现只需要\((1,l-1)\)这段满足按权值排序后下标单调上升，\((r+1,x)\)这段同理，并且\(l-1\)的下标比\(r+1\)的下标小。

那么这个东西其实是可以预处理出来的。

考虑处理出\(posmax\)和\(posmin\)表示数字\(i\)出现的最小下标和最大下标，\(premax\)和\(sufmin\)表示按权值排序后\(1-i\)的最大下标 和 按权值排序后\(i-x\)的最小下标。

依靠上面预处理出来的数据我们就可以再处理出一个\(precan\)和\(sufcan\)表示\((1,i)\)是否合法以及\((i,x)\)是否合法，那么就可以\(O(1)\)判断删除一段区间后的序列是否合法了。

使用双指针就可以做到\(O(n)\)解决。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

namespace io {
char buf[1<<21], *p1 = buf, *p2 = buf;
inline char gc() {
    if(p1 != p2) return *p1++;
    p1 = buf;
    p2 = p1 + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin);
    return p1 == p2 ? EOF : *p1++;
}
#define G gc

#ifndef ONLINE_JUDGE
#undef G
#define G getchar
#endif

template<class I>
inline void read(I &x) {
    x = 0; I f = 1; char c = G();
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = G(); }
    while(c >= '0' && c <= '9') {x = x * 10 + c - '0'; c = G(); }
    x *= f;
}

template<class I>
inline void write(I x) {
    if(x == 0) {putchar('0'); return;}
    I tmp = x > 0 ? x : -x;
    if(x < 0) putchar('-');
    int cnt = 0;
    while(tmp > 0) {
        buf[cnt++] = tmp % 10 + '0';
        tmp /= 10;
    }
    while(cnt > 0) putchar(buf[--cnt]);
}

#define in(x) read(x)
#define outn(x) write(x), putchar('\n')
#define out(x) write(x), putchar(' ')

} using namespace io;

#define ll long long
const int N = 1000100;
const int inf = 1e9;

int n, x;
int a[N];

int posmn[N], posmx[N];
//每个大小的数的最左端点和最右端点
int sufmn[N], premx[N];
//从大到小/从小到大的max和min位置
bool sufcan[N], precan[N];
//保留i到x这段是否合法，保留1到i这段是否合法

bool check(int l, int r) {
    if(!precan[l - 1]) return false;
    if(!sufcan[r + 1]) return false;
    if(sufmn[r + 1] < premx[l - 1]) return false;
    return true;
}

int main() {
    read(n); read(x);
    memset(posmn, 0x3f, sizeof(posmn));
    for(int i = 1; i <= n; ++i) read(a[i]);

    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        posmn[a[i]] = min(posmn[a[i]], i);
        posmx[a[i]] = max(posmx[a[i]], i);
    }
    sufmn[x + 1] = inf;
    for(int i = 1; i <= x; ++i) premx[i] = max(premx[i - 1], posmx[i]);
    for(int i = x; i; --i) sufmn[i] = min(sufmn[i + 1], posmn[i]);
    sufcan[x + 1] = precan[0] = true;
    for(int i = 1; i <= x; ++i) precan[i] = precan[i - 1] && (premx[i - 1] < posmn[i]);
    for(int i = x; i; --i) sufcan[i] = sufcan[i + 1] && (posmx[i] < sufmn[i + 1]);

    ll sum = 0;
    int l = 1, r = 1;
    for(; l <= x; ++l) {
        if(l > r) ++r;
        while(r < x && !check(l, r)) ++r;
        if(check(l, r)) sum += x - r + 1;
    }

    outn(sum);
    return 0;
}