Solution -「CF 1039D」You Are Given a Tree

Description

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有一棵 \(n\) 个节点的树，其中一个简单路径的集合被称为 \(k\) 合法当且仅当：树的每个节点至多属于其中一条路径，且每条路径恰好包含 \(k\) 个点。

对于 \(k\in [1,n]\)，求出 \(k\) 合法路径集合的最多路径数。

即：设 \(k\) 合法路径集合为 \(S\)，求最大的 \(|S|\)。

Solution

设 \(f(i)\) 为 \(k=i\) 时的答案，因为限定了每条路径的结点数，所以 \(f(i)\le\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)，差不多可以看出 \(f(i)\) 是单调不增的。

然后仔细看这个形式，是不是长得很像数论分块？所以连续 \(f(i)\) 相同的值的块长为至少 \(\sqrt{n}\)。

然后枚举左端点，二分找右端点，求解 \(f(i)\) 应该是常见 trick。

听说直接二分常数很大，所以要写整体二分。我也不会卡常，所以就写整体二分叭。

#include<bits/stdc++.h>
int n,ans[100010],delta,f[100010];
int head[100010],nxt[200010],to[200010],cntot;
void addEdge(int one,int ano) {
	to[++cntot]=ano;
	nxt[cntot]=head[one];
	head[one]=cntot;
}
void dfs(int x,int las,int rule) {
	int fs=0,sc=0;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
		int y=to[i];
		if(y^las) {
			dfs(y,x,rule);
			if(f[y]>=fs) {
				sc=fs;
				fs=f[y];
			}
			else if(f[y]>=sc)	sc=f[y];
		}
	}
	if(fs+sc+1>=rule) {
		f[x]=0;
		++delta;
	}
	else	f[x]=fs+1;
}
void rawGrass(int l,int r,int fr,int ba) {
	if(l>r || fr>ba)	return;
	if(l^r) {
		int mid=(fr+ba)>>1;
		delta=0;
		dfs(1,0,mid);
		ans[mid]=delta;
		rawGrass(delta,r,fr,mid-1);
		rawGrass(l,delta,mid+1,ba);
	}
	else {
		for(int i=fr;i<=ba;++i)	ans[i]=l;
	}
}
void read(int &hhh) {
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0' || c>'9')	c=getchar();
	while(c>='0' && c<='9') {
		x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
		c=getchar();
	}
	hhh=x;
}
void write(int x,char las='\n') {
	static int stack[100],top=0;
	do {
		stack[++top]=x%10;
		x/=10;
	}while(x);
	while(top)	putchar(stack[top--]^'0');
	putchar(las);
}
int main() {
	read(n);
	for(int i=1,x,y;i<n;++i) {
		read(x);
		read(y);
		addEdge(x,y);
		addEdge(y,x);
	}
	rawGrass(0,n,1,n);
	for(int i=1;i<=n;++i)	write(ans[i]);
	return 0;
}