2021 ICPC济南 J Determinant

题意就是给定一个矩阵，然后给出他的行列式的绝对值，这个值是精确的，然后让我们判断行列式的正负。

思路来源：一个Acmer

首先做这个题要明白一个性质才可以做，一个数和它的相反数对一个奇数的取模一定不同，因此对于这个题而言，我们只需要选一个模数然后求行列式的值然后与给定的精确值取模后的结果相比较即可，也就是说如果我们算出来的值与给定值相同，那么说明他俩同号，否则说明异号，然后来证明这个性质：

任意一对非\(0\)的相反数，有\(x_1 \not\equiv x_2 (\mod p)\)，\(p\)为奇数，且\(x_1 \mod p \neq 0\)，\(x_2 \mod p \neq 0\)。

\[\begin{aligned}
&x_1 + x_2 = 0\\
=>&(x_1 + x_2) \mod p = 0\\
=>&(x_1 \mod p + x_2 \mod p) \mod p = 0 \,\,\,\,\, (1)\\
\end{aligned}
\]

假设\(x_1 \equiv x_2 (\mod p)\)，那么令\(t_1 = x_1 \mod p\)，\(t_2 = x_2 \mod p\)，那么则有\(t_1 = t_2\)，并且\(t_1 < p\)，\(t_2 < p\)。

那么得知：

• \(t_1 + t_2\)为偶数
• \(t_1 + t_2 < 2 \times p \,\,\,\,\, (2)\)
  
  而把\(t_i (i = 1, 2)\)代入上面式子\((1)\)得\((t_1 + t_2) \mod p == 0\)，那么说明\((t_1 + t_2) = kp\)，由\((2)\)得知\(0 < k < 2\)，那么\(k = 1\)，即\((t_1 + t_2) = p\)，又因为\(p\)是奇数，而\((t_1 + t_2)\)是偶数，所以矛盾。

规则

• 矩阵转置，行列式不变
• 矩阵行（列）交换，行列式取反
• 矩阵行（列）相加减，行列式不变
• 矩阵行（列）所有元素同时乘以一个数，行列式等比例变大

// Problem: P7112 【模板】行列式求值
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P7112
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 110, Mod = 1e9 + 7;
int a[N][N];
int n;

LL qmi(LL a, LL b, LL Mod) {
	LL res = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) res = res * a % Mod;
		b >>= 1;
		a = a * a % Mod;
	}
	return res % Mod;
}

LL Guass() {
	LL det = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) { //枚举列
		int k = i;
		for (int j = i + 1; j <= n; j++) //把最大的一行放到最上边
			if (abs(a[j][i]) > abs(a[k][i])) k = j;
		if (abs(a[k][i]) == 0) { //如果斜线有0，结果就是0
			det = 0;
			break;
		}
		swap(a[i], a[k]); //把最大的一行放到最上边
		if (i != k) det = -det; //如果有行交换，行列式取反
		det = (1ll * det * a[i][i] % Mod + Mod) % Mod; //结果贡献
		for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
			a[i][j]	= 1ll * a[i][j]	* qmi(a[i][i], Mod - 2, Mod) % Mod; //将每行的首位数变为1，这里就是取模
		}
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (j != i && a[j][i]) {
				for (int l = i + 1; l <= n; l++) {
					a[j][l] = (a[j][l] - 1ll * a[i][l] * a[j][i] % Mod + Mod) % Mod;
				}
			}
		}
	}

	return det;
}

int main() {
	int t;
	cin >> t;
	while (t--) {
		cin >> n;
		string s;
		cin >> s;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j <= n; j++) {
				cin >> a[i][j];
			}
		}
		LL res = s[0] - '0';
		for (int i = 1; i < s.size(); i++) {
			res = (res * 10 % Mod + s[i] - '0') % Mod;
		}
		puts(res == Guass() ? "+" : "-");
	}

	return 0;
}