Luogu1419 区间问题 二分 单调优化

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题意

给定一段长度为1e5的序列A，并且给我们一个范围 \([S, T]\), 要求我们求出一段长度在这个范围内的连续子序列，并且要使这个连续子序列的平均值最大，输出这个平均值。

思路

一开始想的是连续子段和相关，于是好久都没有想到正解。

• 这个题首先可以确定能够使用二分答案的方法，因为“符合条件的最大平均值”是单调的。

• 之后考虑如何检查序列中符合条件的子序列的平均值是否能达到给定的k。

  • 因为我们计算的平均值取自A的一段连续子序列，所以检验成功的表达式为

\[A[L...R] / (R - L + 1) \ge k
\]

• 变换可得

\[A[L...R] \ge k * (R - L + 1)
\]

• 看上去我们只需要先求前缀和，然后对每个R，计算 \(max_{1 \le i \le R}A[L...R]\) 然后比较，但是问题在于我们保证了左边最大的同时，右边的(R - L + 1) 却有可能很大而使得可行解不在 \(max_{1 \le i \le R}A[L...R]\) 处取到

• 所以再变换一次，得

\[A[L...R] - k * (R - L + 1) \ge 0
\]

• 这样我们每次检验时，先把A全部元素-k得到A‘数组，(前缀和数组也同时更新)，然后对每个R，计算 \(max_{1 \le i \le R}A’[L...R]\) ，此时的最大值就是 \(max_{1 \le i \le R}[A[L...R] - k * (R - L + 1)]\), 然后与0比较，就可以正确寻找可行解。

• 求最值的过程，由于子区间长度范围为\([S, T]\)，所以我们求最值的范围事实上是 $ max_{R - t \le i \le R - s}{sum_R - sum_i} $,也就是需要求长度为 \(t - s + 1\) 的区间上的 \(sum_i\) 的最小值，固定区间长度的最值问题，使用单调队列。

• 之后就是二分了，注意精度就可以

AC代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const double ff = 1e-4;

double su[100005];
int n, s, t, m;

struct ab
{
	int l;
	double v;
} que[100005];

bool chk(double k)
{
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		su[i] -= i * k;
	}
	su[0] = 0;

	bool fl = false;
	int hd = 1, tl = 1;
	for (int i = 0; i < m; ++i)
	{
		while (tl > hd && que[tl - 1].v >= su[i])
		{
			--tl;
		}
		que[tl].l = i;
		que[tl++].v = su[i];
		if (su[i + s] - que[hd].v >= 0)
		{
			fl = true;
			break;
		}
	}

	if (!fl)
	{
		for (int i = m; i <= n - s; ++i)
		{
			while (hd < tl && que[hd].l + m <= i)
			{
				++hd;
			}
			while (tl > hd && que[tl - 1].v >= su[i])
			{
				--tl;
			}
			que[tl].l = i;
			que[tl++].v = su[i];
			if (su[i + s] - que[hd].v >= 0)
			{
				fl = true;
				break;
			}
		}
	}

	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		su[i] += i * k;
	}
	return fl;
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	scanf("%d%d", &s, &t);
	m = t - s + 1;
	su[0] = 0;
	double ll = 0, rr = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		double xx;
		scanf("%lf", &xx);
		su[i] = su[i - 1] + xx;
		ll = min(ll, xx);
		rr = max(rr, xx);
	}
	while (ll + ff * 5 <= rr)
	{
		double mid = (ll + rr) / 2;
		if (chk(mid))
		{
			ll = mid;
		}
		else
		{
			rr = mid;
		}
	}
	while (chk(ll))
	{
		ll += ff;
	}
	printf("%.3f", ll - ff);
	return 0;
}