P3214 [HNOI2011] 卡农 题解

感觉不是很麻烦，可能就组合排列转化绕一点。。。

抽象化题意

给定 \(n\) 个元素，从中选出 \(m\) 个集合，要求：

1. 集合不为空，集合里不能有相同的元素

2. \(m\) 个集合都互不相同

3. 所有元素被选出的次数为偶数

求方案数，并对 \(100000007\) 取模

凭感觉是DP+组合数

设 \(dp[i][0/1]\) 表示当前选了 \(i\) 个集合合法还是不合法的方案数，但是转移不好转移，因为我们并不知道哪些集合非法，所以我们不能将非法当成状态，只能把他放到转移里，怎么转移？考虑容斥。

若先满足第三个条件，那么就是 \(A^{i-1}_{2^n-1}\) ，因为取决奇偶的只会是最后一个，所以前面 \(i-1\) 任取。

还有两个条件，第一个条件怎么搞？“不能有相同元素”我们已经在第三个条件考虑过了，那我们先强制集合为空，所贡献的就是 \(dp[i-1]\) 种方案，所以减掉 \(dp[i-1]\) 。

最后一个，第二个条件怎么处理？容斥，当前考虑第 \(i\) 个集合，需要和前 \(i-1\) 个集合任意一个相同，且当前 \(i\) 集合的取法有 \(2^n-1-(i-2)\) 种，剩余 \(i-2\) 个集合是合法的，就是 \((i-1)(2^n-i+1)dp[i-2]\) 种

转移方程就是 \(dp[i]=A^{i-1}_{2^n-1}-dp[i-1]-(i-1)(2^n-i+1)dp[i-2]\) ，因为我们算得是排列，所以最后要除以 \(m!\) ，当然转移的时候也可以转成组合，就不需要除以 \(m!\) 了

#include<bits/stdc++.h>

#define int long long

#define maxn 2000005

const int mod=1e8+7;

using namespace std;

template<class T>

inline T read(){
	T r=0,f=0;
	char c;
	while(!isdigit(c=getchar()))f|=(r=='-');
	while(isdigit(c))r=(r*10)+(c^48),c=getchar();
	return f?-r:r;
}

int n,m;

int dp[maxn],pow2,A[maxn];

inline int mypow(int a,int b){
	int ret=1;
	while(b){
		if(b&1)ret=(ret*a)%mod;
		a=(a*a)%mod,b>>=1;
	}
	return ret;
}

signed main(){
	n=read<int>();
	m=read<int>();
	if(n==1&&m==1){puts("1");return 0;}
	pow2=mypow(2,n);
	A[1]=pow2-1;
	int tmp=pow2-1,facm=1;
	for(int i=2;i<=m;i++)
		A[i]=A[i-1]*(--tmp)%mod,facm=facm*i%mod;
	dp[1]=0,dp[0]=1;
	for(int i=2;i<=m;i++){
		dp[i]=((A[i-1]-dp[i-1]+mod)%mod-(i-1)*(pow2-i+1)%mod*dp[i-2]%mod+mod)%mod; //pow2[n]-1-(i-2)
	}
//	for(int i=1;i<=m;i++)cout<<dp[i]<<endl;
	printf("%lld\n",dp[m]*mypow(facm,mod-2)%mod);
	return 0;
}