【bzoj3000】Big Number 数论

题目描述

给你两个整数N和K，要求你输出N！的K进制的位数。

输入

有多组输入数据，每组输入数据各一行，每行两个数——N，K

输出

每行一个数为输出结果。

样例输入

2 5
2 10
10 10
100 200

样例输出

1
1
7
69

---

题解

数论

题目转化一下变为求$\lfloor\log_kn!\rfloor+1$，使用换底公式，问题转化为求$\log n$。

$n$有$2^31$之大，显然不能暴力去求。

这里需要用到Stirling公式：$n!\approx\sqrt{2\pi n}(\frac ne)^n$。这个公式在$n$较大时比较精确，因此可以直接套用；当$n$较小时精确度没有那么高，因此需要小范围暴力。

直接使用cmath中的函数对右半部分取对数即可（右半部分化简结果为$\frac 12\log 2\pi n$+n\log\frac ne），再除以$\log k$，下取整+1即为答案。

注意需要long long。

#include <cmath>
#include <cstdio>
const double pi = acos(-1) , e = exp(1);
int main()
{
    int n , k , i;
    while(~scanf("%d%d" , &n , &k))
    {
        if(n <= 100)
        {
            double ans = 0;
            for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) ans += log(i);
            printf("%d\n" , (int)floor(ans / log(k)) + 1);
        }
        else printf("%lld\n" , (long long)floor((log(2 * pi * n) / 2 + log(n / e) * n) / log(k)) + 1);
    }
    return 0;
}