[学习笔记]对未来做出承诺的DP小结

这是一种DP状态设计方法。

有些题，当你必须以一个顺序往后填的话，然而后面的填法会对之前产生影响，那么，不妨在之前就对未来怎么填做出承诺。

通俗的讲，就是对未来打一个表。

然后后面填的时候，直接查表转移。

当然，毕竟也是一个打表，所以既要记录前面信息，又要记录后面的承诺，复杂度是比较高的。要看数据范围支不支持了。

状态经常设计成，前i个，填了....，如果后面填....的话，答案会是多少。

一、

序列上的一个比较经典的题：[CTSC2017]吉夫特

方法类似这一篇中的第一个例题：根号算法——暴力美学

结合了对未来承诺和对前几个数信息的存储的方法。

甚至直接暴力折半处理，真的是天工开物。

二、

对未来的承诺的问题，常见于树形dp

因为：

树形dp有种逆向思维的感觉。

虽然我是正着填，但是我会先预处理到终点的填法，也就是倒着先把子树的情况处理出来。

类似记忆化搜索的思想。

枚举怎么填x，处理子树接下来的填法。前提是状态固定，子树填法也固定。

而一般的线性dp，先处理的就是先填的。树形dp是，先处理的其实是后填的。

那么至于什么时候树形dp要对未来做出承诺，

感觉是，

如果状态限制只和x的子树有关的话，那么直接dp

如果和x的祖先还有关系，那么直接dp的话，x的填法还会影响到x子树的答案，就有后效性了。

而且，我们的树形dp其实是先搜出来子树怎么怎么填的方案，再考虑x怎么填，然后从子树中查找后续的填法。

所以，子树的填法对未来做出承诺的话，那么处理合并转移的时候就方便了。

例题：

经典：[IOI2005]River 河流

这个题祖先建不建伐木场会影响子树，并且要先决策子树，但是伐木场要往上游走。

就是明显的对未来做出承诺了。

以及：基础dp例题整理

这个中的“小凸玩密室”

填完了子树后，不知道最后一个填的是哪一个，所以不知道填祖先怎么处理花费。

枚举最后一个花销太大。

一个点儿子很多，但是祖先很少啊！！！

那么，干脆就钦定最后一个，在那里贡献答案。

但是不知道到时候祖先是哪一个？

祖先只有logn个！！

所以直接作出承诺。

不光是祖先的填法会影响子树答案，甚至整个树的填法顺序就不是一般的树形dp

填完了子树再填父亲23333~~

还有这个题：11.6 模拟赛T2

可以比较两种对未来承诺的设计复杂度不同的原因。

发现，对于树形dp对未来做出承诺，

就是因为祖先的填法会影响子树答案。

而不是子树单一成一个子问题。

所以要有一些“牵连”

那么，也许DP的设计可以分成两大块了。

1.前i个填，保留前面的信息

2.前i个填，打表对未来的承诺。