LA 2218 (半平面交) Triathlon

题意：

有n个选手，铁人三项有连续的三段，对于每段场地选手i分别以v_i, u_i 和 w_i匀速通过。

对于每个选手，问能否通过调整每种赛道的长度使得他成为冠军(不能并列)。

分析：

粗一看，这不像一道计算几何的题目。

假设赛道总长度是1，第一段长x，第二段长y，第三段则是1-x-y

那么可以计算出每个选手完成比赛的时间T_i

对于选手i，若要成为冠军则有T_i < T_j (i ≠ j)

于是就有n-1个不等式，每个不等式都代表一个半平面。

在加上x>0, y>0, 1-x-y>0 这三个半平面一共有n+2个半平面。如果这些半平面交非空，则选手i可以成为冠军。

最终，还是转化成了半平面交的问题。

细节：

• 对于半平面 ax+by+c > 0 所对应的向量(b, -a)是和系数的正负没有关系的，可以自己试验下。开始我纠结了好长时间

• if(fabs(a) > fabs(b))    P = Point(-c/a, )
  else P = Point(, -c/b);

  对于这段代码不是太清楚它的含义，因为不管怎样P都是在ax+by+c = 0 这条直线上的。我猜可能是减小浮点运算的误差吧？

 //#define LOCAL
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #include <vector>
 using namespace std;

 const double eps = 1e-;
 const int maxn =  + ;
 int v[maxn], u[maxn], w[maxn];

 struct Point
 {
     double x, y;
     Point(double x=, double y=):x(x), y(y) {}
 };
 typedef Point Vector;
 Point operator + (Point a, Point b) { return Point(a.x+b.x, a.y+b.y); }
 Point operator - (Point a, Point b) { return Point(a.x-b.x, a.y-b.y); }
 Vector operator * (Vector a, double p) { return Vector(a.x*p, a.y*p); }
 Vector operator / (Vector a, double p) { return Vector(a.x/p, a.y/p); }
 bool operator < (const Point& a, const Point& b)
 { return a.x < b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y); }
 bool operator == (const Point& a, const Point& b)
 { return a.x == b.x && a.y == b.y; }
 double Dot(const Vector& a, const Vector& b) { return a.x*b.x + a.y*b.y; }
 double Cross(const Vector& a, const Vector& b) { return a.x*b.y - a.y*b.x; }
 double Length(const Vector& a) { return sqrt(Dot(a, a)); }
 Vector Normal(const Vector& a)
 {
     double l = Length(a);
     return Vector(-a.y/l, a.x);
 }

 double PolygonArea(const vector<Point>& p)
 {
     int n = p.size();
     double ans = 0.0;
     for(int i = ; i < n-; ++i)
         ans += Cross(p[i]-p[], p[i+]-p[]);
     return ans/;
 }

 struct Line
 {
     Point P;
     Vector v;
     double ang;
     Line() {}
     Line(Point p, Vector v):P(p), v(v) { ang = atan2(v.y, v.x); }
     bool operator < (const Line& L) const
     {
         return ang < L.ang;
     }
 };

 bool OnLeft(const Line& L, Point p)
 {
     return Cross(L.v, p-L.P) > ;
 }

 Point GetLineIntersevtion(const Line& a, const Line& b)
 {
     Vector u = a.P - b.P;
     double t = Cross(b.v, u) / Cross(a.v, b.v);
     return a.P + a.v*t;
 }

 vector<Point> HalfplaneIntersection(vector<Line> L)
 {
     int n = L.size();
     sort(L.begin(), L.end());

     int first, last;
     vector<Point> p(n);
     vector<Line> q(n);
     vector<Point> ans;

     q[first=last=] = L[];
     for(int i = ; i < n; ++i)
     {
         while(first < last && !OnLeft(L[i], p[last-])) last--;
         while(first < last && !OnLeft(L[i], p[first])) first++;
         q[++last] = L[i];
         if(fabs(Cross(q[last].v, q[last-].v)) < eps)
         {
             last--;
             if(OnLeft(q[last], L[i].P)) q[last] = L[i];
         }
         if(first < last) p[last-] = GetLineIntersevtion(q[last-], q[last]);
     }
     while(first < last && !OnLeft(q[first], p[last-])) last--;
     if(last - first <= )    return ans;
     p[last] = GetLineIntersevtion(q[first], q[last]);

     for(int i = first; i <= last; ++i)    ans.push_back(p[i]);
     return ans;
 }

 int main(void)
 {
     #ifdef    LOCAL
         freopen("2218in.txt", "r", stdin);
     #endif

     int n;
     while(scanf("%d", &n) ==  && n)
     {
         for(int i = ; i < n; ++i) scanf("%d%d%d", &v[i], &u[i], &w[i]);
         for(int i = ; i < n; ++i)
         {
             int ok = ;
             double k = ;
             vector<Line> L;
             for(int j = ; j < n; ++j) if(j != i)
             {
                 if(v[i]<=v[j] && u[i]<=u[j] && w[i]<=w[j]) { ok = ; break; }
                 if(v[i]>v[j] && u[i]>u[j] && w[i]>w[j]) continue;

                 double a = (k/v[j]-k/v[i]+k/w[i]-k/w[j]);
                 double b = (k/u[j]-k/u[i]+k/w[i]-k/w[j]);
                 double c = k/w[j]-k/w[i];
                 //L.push_back(Line(Point(0, -c/b), Vector(b, -a)));
                 Point P;
                 Vector V(b, -a);
                 if(fabs(a) > fabs(b))    P = Point(-c/a, );
                 else P = Point(, -c/b);
                 L.push_back(Line(P, V));
             }
             if(ok)
             {
                 L.push_back(Line(Point(, ), Vector(, -)));
                 L.push_back(Line(Point(, ), Vector(, )));
                 L.push_back(Line(Point(, ), Vector(-, )));
                 vector<Point> Poly = HalfplaneIntersection(L);
                 if(Poly.empty()) ok = ;
             }
             if(ok) puts("Yes"); else puts("No");
         }
     }

     return ;
 }

代码君