HDU 2049 不容易系列之(4)——考新郎 （错排+组合）

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Problem Description

国庆期间,省城HZ刚刚举行了一场盛大的集体婚礼,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做"考新郎",具体的操作是这样的:

首先,给每位新娘打扮得几乎一模一样,并盖上大大的红盖头随机坐成一排;

然后,让各位新郎寻找自己的新娘.每人只准找一个,并且不允许多人找一个.

最后,揭开盖头,如果找错了对象就要当众跪搓衣板...

看来做新郎也不是容易的事情...

假设一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能.

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C行数据，每行包含两个整数N和M(1<M<=N<=20)。

Output

对于每个测试实例，请输出一共有多少种发生这种情况的可能，每个实例的输出占一行。

Sample Input

2

2 2

3 2

Sample Output

1

3

分析：

首先对于n个新郎里面有m个人来进行选择，就是一个简单的组合问题，但是如何保证这些人选的都是错误的呢，就要用到错排公式。

第一步，“错排” 1 号元素（将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一），有 n - 1 种方法。

第二步，“错排”其余 n - 1 个元素，按如下顺序进行。视第一步的结果，若 1 号元素落在第 k 个位置，第二步就先把 k 号元素“错排”好， k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：

（ 1 ） k 号元素排在第 1 个位置，留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有 f(n -2) 种方法；

（ 2 ） k 号元素不排第 1 个位置，这时可将第 1 个位置“看成”第 k 个位置，于是形成（包括 k 号元素在内的） n - 1 个元素的“错排”，有 f(n - 1) 种方法。

据加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。

错排公式为：f [i ] =(i-1)*( f [ i-1 ] + f [ i-2 ] )

通式 : f(n)=n! (1/2!-1/3!+······+(-1)^n/n!)

代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
long long int a[55];
void fun1()//错排公式
{
    a[1]=0;
    a[2]=1;
    for(long long int  i=3; i<=20; i++)
        a[i]=(i-1)*(a[i-2]+a[i-1]);
}
long long int calculate(int n,int m)//计算组合数
{
    long long int ans1=1;
    for(int i=n; i>m; i--)
        ans1*=i;
    long long int ans2=1;
    for(int i=2; i<=n-m; i++)
        ans2*=i;
    return ans1/ans2;
}
int main()
{
    int t;
    fun1();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%lld\n",calculate(n,m)*a[m]);
    }
    return 0;
}