[luogu3198] 玩具装箱

题面

​ 最近在搞dp, 发现自己的dp还是太弱了, 做的题比较少, 也有一些东西没学, 这道题算是我独立做的第一道斜率优化dp, 写篇题解纪念一下吧.

​ dp式比较简单, 就是一个线性的dp, 设\(f[i]\)为将1 ~ i分为若干个集合所花费的最小值, \(c[i]\)为1 ~ i的\(c\)值的前缀和, 对于满足\(j\)小于\(i\)的\(j\), 则有:

\[f[i] = min(f[j] + (c[i] - c[j] + i - j - 1 - l)^2)\tag{1}
\]

设\(a[i] = c[i] + i\), \(b[i] = c[i] + i + 1 + l\), 则可将上式化简为下式:

\[\begin{aligned}
f[i] = & min(f[j] + (a[i] - b[j])^2)\\
=&min(f[j] + a[i] ^ 2 + b[j] ^ 2 - 2 * a[i] * b[j])
\end{aligned}
\]

假设对于某个\(k\)(\(k\) >\(j\)), 选\(k\)比选\(j\)更优, 则有下式:

\[\begin{aligned}
f[k] + a[i] ^ 2 + b[k] ^ 2 - 2 * a[i] * b[k] &< f[j] + a[i] ^ 2 + b[j] ^ 2 - 2 * a[i] * b[j]\\
(f[k] + b[k] ^ 2) - (f[j] + b[j] ^ 2) &< 2 * a[i] * (b[k] - b[j])\\
\frac{(f[k] + b[k] ^ 2) - (f[j] + b[j] ^ 2)}{2 * (b[k] - b[j])} &< a[i]
\end{aligned}
\]

对于上述几个不等式, 由于\(c[i]\)与\(i\)单调递增, 所以\(a[i]\)也是单调递增的, 那么对于平面上的任意三个决策点\(j_1\), \(j_2\), \(j_3\), 若\(j_2\)对\(i\)最优, 则\((b[j_1], f[j_1] + b[j _ 1] ^ 2)\), \((b[j_2], f[j_2] + b[j _ 2]^2)\), \((b[j_3], f[j _ 3] + b[j _ 3] ^ 2)\)三点应该满足下列两个等式:

\[\begin{aligned}
\frac{(f[j_2] + b[j_2] ^ 2) - (f[j _ 1] + b[j _ 1] ^ 2)}{2 * (b[j_2] - b[j _ 1])} &< a[i]\\
\frac{(f[j_3] + b[j_3] ^ 2) - (f[j _ 2] + b[j _ 2] ^ 2)}{2 * (b[j_3] - b[j _ 2])} &\geq a[i]\\
\end{aligned}
\]

所以有:

\[\frac{(f[j_3] + b[j_3] ^ 2) - (f[j _ 2] + b[j _ 2] ^ 2)}{2 * (b[j_3] - b[j _ 2])} >\frac{(f[j_2] + b[j_2] ^ 2) - (f[j _ 1] + b[j _ 1] ^ 2)}{2 * (b[j_2] - b[j _ 1])}
\]

也就是斜率单调上升, 故维护一个下凸包即可, 注意单调队列初始化时要先加入一个0.

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define N 50005
#define int long long
using namespace std;

int n, L, sum[N], a[N], b[N], f[N], q[N], l = 1, r; 

inline int read()
{
	int x = 0, w = 1;
	char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') { if (c == '-') w = -1; c = getchar(); }
	while(c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
	return x * w;
}

bool F_check(int x, int y, int z) { return f[y] - f[x] + b[y] * b[y] - b[x] * b[x] < 2 * z * (b[y] - b[x]); }

bool S_check(int x, int y, int z)
{
	return (f[y] - f[x] + b[y] * b[y] - b[x] * b[x]) * (b[z] - b[y]) > (f[z] - f[y] + b[z] * b[z] - b[y] * b[y]) * (b[y] - b[x]);
}

signed main()
{
	n = read(); L = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		sum[i] = read(); sum[i] += sum[i - 1];
		a[i] = sum[i] + i; b[i] = sum[i] + i + L + 1;
	}
	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	b[0] = L + 1; f[0] = 0;
	q[++r] = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		while(l < r && F_check(q[l], q[l + 1], a[i])) l++;
		f[i] = f[q[l]] + a[i] * a[i] + b[q[l]] * b[q[l]] - 2 * a[i] * b[q[l]];
		while(l < r && S_check(q[r - 1], q[r], i)) --r;
		q[++r] = i;
	}
	printf("%lld\n", f[n]);
	return 0;
}
\\有一些数组的名字改动了一点点, 世上不是缺少不一样的东西, 而是缺少发现不一样的东西的眼睛

你觉得我会告诉你我在写题目之前就把题解写完了吗???