【题目】C. Black Widow

【题意】给定一个表达式,形式为(...)^(...)^......^(...)=1(n个括号),括号中为1~2个值取或。有m个变量,给出表达式的值为xi或 !xi,xi只能为0或1,求变量赋值使得表达式成立的方案数。每个变量至多出现两次。n,m<=10^5。

【算法】动态规划+模拟

【题解】每个括号视为一个点,对于同时出现在两个括号内的变量将两个点连边(边须记两边异同)。由于每个变量至多出现两次,所以一条边就可以代表一个变量。

由于每个括号至多两个变量,所以整个图是若干独立的链或环。

对于链:f[i][j][k]表示考虑到第i条边,当前边取值j=0或1,当前全局取值k=0或1的方案数。

从链的一端开始考虑,到链的另一端结束。

对于环:先决定好第一条边的取值,然后像链一样做即可。

最后将若干子图用简单的DP或组合数计算出最终答案。

复杂度O(n)。

实际操作过程相当复杂,请务必小心食用本题……QAQ

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read(){
char c;int s=,t=;
while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-;
do{s=s*+c-'';}while(isdigit(c=getchar()));
return s*t;
}
const int maxn=,MOD=1e9+;
int f[maxn][][],dp[][],tot=,first[maxn],in[maxn],ans[maxn][],cnt,fir;
int n,m,c[maxn][],d[maxn][],uv,uuv,vv,be,fr,p[maxn];
bool vis[maxn];
struct edge{int v,w,from;}e[maxn*];
void insert(int u,int v,int w){tot++;e[tot].v=v;e[tot].w=w;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;in[v]++;}
int M(int x){return x>=MOD?x-MOD:x;}
void dfs(int x,int fa,int w){
bool ok=;vis[x]=;
f[x][][]=M(f[fa][][w]+f[fa][][w^]);
f[x][][]=M(f[fa][][]+f[fa][][]);
f[x][][]=M(f[fa][][w^]+f[fa][][w]);
f[x][][]=M(f[fa][][]+f[fa][][]);
for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(e[i].v!=fa){
ok=;
dfs(e[i].v,x,e[i].w);
}
if(ok){ ans[cnt][]=M(ans[cnt][]+M(f[x][][]+(p[x]?:f[x][][])));
ans[cnt][]=M(ans[cnt][]+M(f[x][][]+(p[x]?:f[x][][])));
}
}
void round(int x,int fa,int w,int b){
vis[x]=;
f[x][][]=M(f[fa][][w]+f[fa][][w^]);
f[x][][]=M(f[fa][][]+f[fa][][]);
f[x][][]=M(f[fa][][w^]+f[fa][][w]);
f[x][][]=M(f[fa][][]+f[fa][][]);
for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(i!=fr&&(i^)!=b){
if(e[i].v!=be)round(e[i].v,x,e[i].w,i);
else{
if(!fir){
ans[cnt][]=M(f[x][e[i].w^][]+f[x][e[i].w][]);
ans[cnt][]=M(f[x][e[i].w][]+f[x][e[i].w^][]);
}
else{
ans[cnt][]=M(ans[cnt][]+M(f[x][][]+f[x][][]));
ans[cnt][]=M(ans[cnt][]+M(f[x][][]+f[x][][]));
}
}
}
}
int main(){
n=read();m=read();
for(int i=;i<=n;i++){
int k=read();if(k==)p[i]=;
for(int j=;j<=k;j++){
int x=read();
if(x<)c[-x][++c[-x][]]=i,d[-x][c[-x][]]=;
else c[x][++c[x][]]=i;
}
}
for(int i=;i<=m;i++){
if(c[i][]==)uv++;
if(c[i][]==){
if(c[i][]==c[i][]){p[c[i][]]=;if(d[i][]==d[i][])uuv++;else vv++;continue;}
insert(c[i][],c[i][],d[i][]^d[i][]);
insert(c[i][],c[i][],d[i][]^d[i][]);
}
}
for(int i=;i<=n;i++)if(!vis[i]&&in[i]==){
cnt++;
f[][][]=;
dfs(i,,);
if(!p[i]){
dfs(i,,);
}
f[][][]=;
}
for(int i=;i<=n;i++)if(!vis[i]&&in[i]==){
cnt++;
f[i][][]=;fir=;be=i;vis[i]=;fr=e[first[i]].from;
round(e[first[i]].v,i,e[first[i]].w,first[i]);
f[i][][]=;f[i][][]=;fir=;
round(e[first[i]].v,i,e[first[i]].w,first[i]);
}
for(int i=;i<=n;i++)if(!vis[i]&&in[i]==&&p[i]!=){cnt++;ans[cnt][]=;ans[cnt][]=p[i]?:;}
int x=;
dp[x][vv&]=;
for(int i=;i<=vv;i++)dp[x][vv&]=dp[x][vv&]*%MOD;
for(int i=;i<=uuv;i++){
x=-x;
dp[x][]=M(dp[-x][]+dp[-x][]);
dp[x][]=M(dp[-x][]+dp[-x][]);
}
for(int i=;i<=cnt;i++){
x=-x;
dp[x][]=(1ll*ans[i][]*dp[-x][]+1ll*ans[i][]*dp[-x][])%MOD;
dp[x][]=(1ll*ans[i][]*dp[-x][]+1ll*ans[i][]*dp[-x][])%MOD;
}
for(int i=;i<=uv;i++)dp[x][]=dp[x][]*%MOD;
printf("%d",dp[x][]);
return ;
}

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