【CodeForces】704 C. Black Widow 动态规划+模拟

【题目】C. Black Widow

【题意】给定一个表达式，形式为(...)^(...)^......^(...)=1（n个括号），括号中为1~2个值取或。有m个变量，给出表达式的值为xi或 !xi，xi只能为0或1，求变量赋值使得表达式成立的方案数。每个变量至多出现两次。n,m<=10^5。

【算法】动态规划+模拟

【题解】每个括号视为一个点，对于同时出现在两个括号内的变量将两个点连边（边须记两边异同）。由于每个变量至多出现两次，所以一条边就可以代表一个变量。

由于每个括号至多两个变量，所以整个图是若干独立的链或环。

对于链：f[i][j][k]表示考虑到第i条边，当前边取值j=0或1，当前全局取值k=0或1的方案数。

从链的一端开始考虑，到链的另一端结束。

对于环：先决定好第一条边的取值，然后像链一样做即可。

最后将若干子图用简单的DP或组合数计算出最终答案。

复杂度O(n)。

实际操作过程相当复杂，请务必小心食用本题……QAQ

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read(){
    char c;int s=,t=;
    while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-;
    do{s=s*+c-'';}while(isdigit(c=getchar()));
    return s*t;
}
const int maxn=,MOD=1e9+;
int f[maxn][][],dp[][],tot=,first[maxn],in[maxn],ans[maxn][],cnt,fir;
int n,m,c[maxn][],d[maxn][],uv,uuv,vv,be,fr,p[maxn];
bool vis[maxn];
struct edge{int v,w,from;}e[maxn*];
void insert(int u,int v,int w){tot++;e[tot].v=v;e[tot].w=w;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;in[v]++;}
int M(int x){return x>=MOD?x-MOD:x;}
void dfs(int x,int fa,int w){
    bool ok=;vis[x]=;
    f[x][][]=M(f[fa][][w]+f[fa][][w^]);
    f[x][][]=M(f[fa][][]+f[fa][][]);
    f[x][][]=M(f[fa][][w^]+f[fa][][w]);
    f[x][][]=M(f[fa][][]+f[fa][][]);
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(e[i].v!=fa){
        ok=;
        dfs(e[i].v,x,e[i].w);
    }
    if(ok){

        ans[cnt][]=M(ans[cnt][]+M(f[x][][]+(p[x]?:f[x][][])));
        ans[cnt][]=M(ans[cnt][]+M(f[x][][]+(p[x]?:f[x][][])));
    }
}
void round(int x,int fa,int w,int b){
    vis[x]=;
    f[x][][]=M(f[fa][][w]+f[fa][][w^]);
    f[x][][]=M(f[fa][][]+f[fa][][]);
    f[x][][]=M(f[fa][][w^]+f[fa][][w]);
    f[x][][]=M(f[fa][][]+f[fa][][]);
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(i!=fr&&(i^)!=b){
        if(e[i].v!=be)round(e[i].v,x,e[i].w,i);
        else{
            if(!fir){
                ans[cnt][]=M(f[x][e[i].w^][]+f[x][e[i].w][]);
                ans[cnt][]=M(f[x][e[i].w][]+f[x][e[i].w^][]);
            }
            else{
                ans[cnt][]=M(ans[cnt][]+M(f[x][][]+f[x][][]));
                ans[cnt][]=M(ans[cnt][]+M(f[x][][]+f[x][][]));
            }
        }
    }
}
int main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=;i<=n;i++){
        int k=read();if(k==)p[i]=;
        for(int j=;j<=k;j++){
            int x=read();
            if(x<)c[-x][++c[-x][]]=i,d[-x][c[-x][]]=;
            else c[x][++c[x][]]=i;
        }
    }
    for(int i=;i<=m;i++){
        if(c[i][]==)uv++;
        if(c[i][]==){
            if(c[i][]==c[i][]){p[c[i][]]=;if(d[i][]==d[i][])uuv++;else vv++;continue;}
            insert(c[i][],c[i][],d[i][]^d[i][]);
            insert(c[i][],c[i][],d[i][]^d[i][]);
        }
    }
    for(int i=;i<=n;i++)if(!vis[i]&&in[i]==){
        cnt++;
        f[][][]=;
        dfs(i,,);
        if(!p[i]){
            dfs(i,,);
        }
        f[][][]=;
    }
    for(int i=;i<=n;i++)if(!vis[i]&&in[i]==){
        cnt++;
        f[i][][]=;fir=;be=i;vis[i]=;fr=e[first[i]].from;
        round(e[first[i]].v,i,e[first[i]].w,first[i]);
        f[i][][]=;f[i][][]=;fir=;
        round(e[first[i]].v,i,e[first[i]].w,first[i]);
    }
    for(int i=;i<=n;i++)if(!vis[i]&&in[i]==&&p[i]!=){cnt++;ans[cnt][]=;ans[cnt][]=p[i]?:;}
    int x=;
    dp[x][vv&]=;
    for(int i=;i<=vv;i++)dp[x][vv&]=dp[x][vv&]*%MOD;
    for(int i=;i<=uuv;i++){
        x=-x;
        dp[x][]=M(dp[-x][]+dp[-x][]);
        dp[x][]=M(dp[-x][]+dp[-x][]);
    }
    for(int i=;i<=cnt;i++){
        x=-x;
        dp[x][]=(1ll*ans[i][]*dp[-x][]+1ll*ans[i][]*dp[-x][])%MOD;
        dp[x][]=(1ll*ans[i][]*dp[-x][]+1ll*ans[i][]*dp[-x][])%MOD;
    }
    for(int i=;i<=uv;i++)dp[x][]=dp[x][]*%MOD;
    printf("%d",dp[x][]);
    return ;
}