Comet OJ Contest #15 D. 双十一特惠（困难版）

以 $d(x)$ 表示正整数 $x$ 的十进制表示的数位之和。熟知下列关于 $d(x)$ 的结论：

1. $d(x) \equiv x \pmod{9}$。从而对于任意正整数列 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 有 $\sum_{i=1}^{n} d(a_i) \equiv d(\sum_{i=1}^{n}a_i) \pmod{9}$。
2. 十进制下，在正整数 $a,b$ 相加的过程中，每发生一次进位数位之和减少 $9$。因而有 $d(a + b) = d(a) + d(b) - 9c(a, b)$。$c(a, b)$ 表示十进制下 $a, b$ 相加发生的进位次数。
3. 正整数 $x$ 可表为 $\sum_{i =1 }^{n}10^{e_i}$ 且 $n$ 可以取到等差数列 $x, x - 9, x -18, \dots, d(x)$ 中的每一个值。证明：考虑下述过程：从 $x$ 个 1 开始，此时 $n = x$。若 $x\ge 10$ 则可以把 $10$ 个 1 变成 $1$ 个 10，使 $n$ 变为 $x - 9$；不断如此操作直到剩下不足 $10$ 个 1。继续对剩下的 10 进行类似的操作。如此反复操作，直到无法操作。

十进制下 $k$ 个连续的 1 可表为 $\frac{10^{k} - 1}{9}$。
题目所问相当于 $\arg\min_{n} v = \sum_{i=1}^{n} \frac{10^{e_i} - 1}{9}$（$e_i \ge 1$） 即 $\arg\min_{n} 9v+n = \sum_{i=1}^{n} 10^{e_i}$。根据上述结论 1 和 3，$n$ 只要满足

• $d(9v+n) \equiv n \pmod{9}$
• $n \ge d(9v+n)$

即可。

因此可以枚举 $n$。下面给出答案的上界。令 $t = 9v$，注意到 $d(t) \equiv 0\pmod{9}$，反复进行下列操作直到 $t$ 变成零：$t \to t+ 1$，$t \to t - 10^{h}$，$h$ 表示 $t$ 的十进制表示的最高位，例如，若 $t = 234$ 则 $h = 2$。注意到每次操作过后 $d(t)\bmod 9$ 不变。因此，每次操作之前必有 $t\ge 10$，因而有 $h\ge 1$。 在 $t \to t+1$ 这一步，$d(t)$ 至多增加 $1$，而 $t \to t-10^h$ 这一步，$d(t)$ 恰好减少 $1$。另外，每 $10$ 次操作之中，必有一次 $t \to t+1$ 使个位发生进位，在这个操作后 $d(t)$ 至少减少 $10$。因此每 $10$ 次操作过后 $d(t)$ 至少减少 $10$，因此答案不超过 $d(9v) + 10$。

注：

1. 本文参考了源曲明的题解。
2. $d(9v + n) \equiv n \pmod{9}$ 即 $d(n) \equiv n \pmod{9}$。

官方题解：

这个思路比我上面的思路要好得多。下面对官方题解作几个注解：

1. 由于 $x > 0$ 且 $9v + x$ 是 $10$ 的倍数，因此可以不用管 $9v$ 的个位，直接往 $9v$ 的十位不断加一。