【BZOJ4818】【SDOI2017】序列计数 [矩阵乘法][DP]

序列计数

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Description

　　Alice想要得到一个长度为n的序列，序列中的数都是不超过m的正整数，而且这n个数的和是p的倍数。Alice还希望，这n个数中，至少有一个数是质数。Alice想知道，有多少个序列满足她的要求。

Input

　　一行三个数，n,m,p。

Output

　　一行一个数，满足Alice的要求的序列数量，答案对20170408取模。

Sample Input

　　3 5 3

Sample Output

　　33

HINT

　　1<=n<=10^9,1<=m<=2×10^7,1<=p<=100

Solution

　　先考虑容斥，用Ans=全部的方案数 - 一个质数都没有的方案，那么我们首先想到了一个暴力DP，令 f[i][j] 表示选了前 i 个数，%p时余数为 j 的方案数。那么显然 %p 同余的可以分为一类，那么就可以用矩阵乘法来优化这个DP了。

Code

 #include<iostream>
 #include<string>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 typedef long long s64;

 const int MaxM = 2e7+;
 const int ONE = ;
 const int MOD = ;

 int n,m,p;
 int prime[],p_num;
 int Record[ONE][],a[ONE][ONE],b[ONE][ONE];
 bool isp[MaxM];

 inline int get()
 {
         int res=,Q=;  char c;
         while( (c=getchar())< || c>)
         if(c=='-')Q=-;
         if(Q) res=c-;
         while((c=getchar())>= && c<=)
         res=res*+c-;
         return res*Q;
 }

 void Getp(int MaxN)
 {
         isp[] = ;
         for(int i=; i<=MaxN; i++)
         {
             if(!isp[i])
                 prime[++p_num] = i;
             for(int j=; j<=p_num, i*prime[j]<=MaxN; j++)
             {
                 isp[i * prime[j]] = ;
                 if(i % prime[j] == ) break;
             }
         }
 }

 void Mul(int a[ONE][ONE],int b[ONE][ONE],int ans[ONE][ONE])
 {
         int record[ONE][ONE];
         for(int i=;i<p;i++)
         for(int j=;j<p;j++)
         {
             record[i][j] = ;
             for(int k=;k<p;k++)
             record[i][j] = (s64)(record[i][j] + (s64)a[i][k]*b[k][j] % MOD) %MOD;
         }

         for(int i=;i<p;i++)
         for(int j=;j<p;j++)
             ans[i][j] = record[i][j];
 }

 void Quickpow(int a[ONE][ONE],int b[ONE][ONE],int t)
 {
         while(t)
         {
             if(t&) Mul(a,b,a);
             Mul(b,b,b);
             t>>=;
         }
 }

 int Solve(int PD)
 {
         memset(a,,sizeof(a));
         memset(b,,sizeof(b));

         for(int i=;i<p;i++)
         for(int j=;j<p;j++)
             b[i][j] = Record[((i-j)%p+p)%p][PD];

         for(int i=;i<p;i++)
             a[i][i] = ;

         Quickpow(a,b,n);
         return a[][];
 }

 int main()
 {
         n=get();    m=get();    p=get();    Getp(m);
         for(int i=;i<=m;i++)
         {
             int x = i%p;
             Record[x][]++;
             if(isp[i]) Record[x][]++;
         }

         printf("%d",(Solve()-Solve()+MOD) % MOD);
 }