『ACM C++』HDU杭电OJ | 1418 - 抱歉 （拓扑学：多面体欧拉定理引申）

　　呕，大一下学期的第一周结束啦，一周过的挺快也挺多出乎意料的事情的~ 随之而来各种各样的任务也来了，嘛毕竟是大学嘛，有点上进心的人多多少少都会接到不少任务的，忙也正常啦~端正心态 开心面对就好啦~

　　今天突然回顾了一下《从你的全世界路过》这本书和电影，莫名的感悟涌上心头，收集到了一些走入人心的一些语句：

　　1、在季节的车上，如果你要提前下车，请别推醒装睡的我，这样我可以沉睡到终点，假装不知道你已经离开。

　　2、世事如书，我偏爱你这一句，愿做个逗号，待在你脚边。但你有自己的朗读者，而我只是个摆渡人。

　　3、我淋过的最大的雨，是那一天你在烈日下的不回头。

　　4、这世界是你的遗嘱，而我是你唯一的遗物。

　　5、我希望有个如你一般的人，如山间清爽的风，如古城温暖的光，从清晨到夜晚，由山野到书房，只要最后是你，就好。

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抱歉

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2891

Problem Description

非常抱歉，本来兴冲冲地搞一场练习赛，由于我准备不足，出现很多数据的错误，现在这里换一个简单的题目：
前几天在网上查找ACM资料的时候，看到一个中学的奥数题目，就是不相交的曲线段分割平面的问题，我已经发到论坛，并且lxj
已经得到一个结论，这里就不
多讲了，下面有一个类似的并且更简单的问题：

如果平面上有n个点，并且每个点至少有2条曲线段和它相连，就是说，每条曲线都是封闭的，同时，我们规定：
1）所有的曲线段都不相交；
2）但是任意两点之间可以有多条曲线段。
如果我们知道这些线段把平面分割成了m份，你能知道一共有多少条曲线段吗？

Input

输入数据包含n和m，n=0,m=0表示输入的结束，不做处理。
所有输入数据都在32位整数范围内。

Output

输出对应的线段数目。

Sample Input

Sample Output

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（一） 题目分析：

　　　　题目一上来懵了，很短的题目，也很容易读懂什么意思，但就是没有思路下手，对数学背景也不太清楚，还是一道中学奥数题，AC率还很高，我居然还不会做，去看了一下杭电的discuss之后才发现，这其实就是多面体欧拉定理的输出结果而已。

　　　　后面会引申多面体欧拉定理。

（二）AC代码：

#include<stdio.h>
using namespace std;
long long int n,m;
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m) && (n||m))
        printf("%d\n",n+m-);
    return ;
}

　　注：因为代码太简单就不分块了，主要是引出多面体欧拉定理。

（三）AC截图：

（四）解后分析：

　　　　多面体欧拉定理：

　　　　　　多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其顶点数V、棱数E及面数F间有著名的欧拉公式：V-E+F=2。简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。

　　　　　　V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X(P)是多面体P的欧拉示性数。 如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。 X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。

　　　　　　引申其他的欧拉公式：

　　　　分式里的欧拉公式：

　　　　　　a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

　　　　　　当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1

　　　　　　当r=3时值为a+b+c

　　　　复变函数论里的欧拉公式：

　　　　　　e^ix=cosx+isinx，

　　　　　　e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.

　　　　　　将公式里的x换成-x，得到：

　　　　　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：

　　　　　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

　　　　　　e^i∏+1=0. 这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

　　　　三角形中的欧拉公式：

　　　　　　设r为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d^2=r^2-2rr

　　　　拓扑学里的欧拉公式：（多面体欧拉公式）

　　　　　　v+f-e=x(p)，v是多面体p的顶点个数，f是多面体p的面数，e是多面体p的棱的条数,x(p)是多面体p的欧拉示性数。

　　　　　　如果p可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上)，那么x(p)=2，如果p同胚于一个接有h个环柄的球面，那么x(p)=2-2h。

　　　　　　x(p)叫做p的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

　　　　　　在多面体中的运用:

　　　　　　简单多面体的顶点数v、面数f及棱数e间有关系

　　　　　　v+f-e=2

　　　　　　这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

　　　　初等数论里的欧拉公式：

　　　　　　欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。

　　　　　　欧拉证明了下面这个式子：

　　　　　　如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有

　　　　　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

　　　　　　利用容斥原理可以证明它。

　　　　　　

　　　　　　参考：https://www.phb123.com/shijiezhizui/renlei/20095_2.html

注：我还是个渣渣辉，代码可能写得不够高效不够好，我也会努力优化，如果有更好的解法，真心希望您能够评论留言贴上您的代码呢~互相帮助互相鼓励才能成长鸭~~