LG2120 [ZJOI2007]仓库建设

题意

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。

工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。

突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。

由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。

对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。

假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：

• 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;
• 工厂i目前已有成品数量Pi;
• 在工厂i建立仓库的费用Ci;

请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

\(N \leq 10^6\)

分析

容易列出dp方程，设\(dp[i]\)表示在\(i\)建仓库，\(1 \sim i\)的最小费用。
\[
dp[i]=\min\limits_{0 \leq j<i} \{dp[j]+x[i]\times\sum\limits_{k=j+1}^{i}(p[k]) -\sum\limits_{k=j+1}^{i}(x[k] \times p[k])\}+c[i]
\]
意思是，运到\(i\)的费用相当于都从\(i\)运到\(1\)的费用减去各自运到\(1\)的费用。

那么设\(sp[i]=\sum_{j=1}^i p[j] , s[i] = \sum_{j=1}^i x[j] * p[j]\)，方程就可以化为\(O(n^2)\)。

设\(j > k\)，且从\(j\)转移优于从\(k\)转移，可以得到
\[
\frac{(dp[j]+s[j])-(dp[k]+s[k])}{sp[j]-sp[k]}<x[i]
\]
\(sp\)递增，又是小于号，所以维护下凸包。又因为\(x\)单调增，所以可以用单调队列优化。

时间复杂度\(O(n)\)

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<ctime>
#include<cstring>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read()
{
    rg T data=0;
    rg int w=1;
    rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-')
            w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        data=data*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return data*w;
}
template<class T>T read(T&x)
{
    return x=read<T>();
}
using namespace std;
typedef long long ll;

co int N=1e6+2;
ll x[N],p[N],c[N];
ll sp[N],s[N],dp[N];

ll Up(int j,int k)
{
    return dp[j]+s[j]-dp[k]-s[k];
}

ll Down(int j,int k)
{
    return sp[j]-sp[k];
}

ll Cal(int i,int j)
{
    return dp[j]+x[i]*(sp[i]-sp[j])-(s[i]-s[j])+c[i];
}

int q[N];

int main()
{
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
    int n=read<int>();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        read(x[i]),read(p[i]),read(c[i]);
        sp[i]=sp[i-1]+p[i];
        s[i]=s[i-1]+x[i]*p[i];
    }
    int head=0,tail=0;
    q[tail++]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(head+1<tail&&Up(q[head+1],q[head])<=x[i]*Down(q[head+1],q[head]))
            ++head;
        dp[i]=Cal(i,q[head]);
        while(head+1<tail&&Up(i,q[tail-1])*Down(q[tail-1],q[tail-2])<=Up(q[tail-1],q[tail-2])*Down(i,q[tail-1]))
            --tail;
        q[tail++]=i;
    }
    printf("%lld\n",dp[n]);
    return 0;
}