Bzoj2705 Longge的问题

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64bit IO Format: %lld & %llu

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

Hint

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

Source

SDOI2012

求Σgcd(i,n) (1<=i<=n)

暴力枚举当然可行，但是TLE不可避。

考虑转化问题，从1到n的范围内，有许多个i的gcd(i,n)等于同一个n的因数。我们可以枚举n的每一个因数k，累计“以该数k为解的gcd(i,n)的个数s(k)"乘以该数，就能得到答案。

若有gcd(n,m)=k，那么n和m同除公约数k后，可以得到gcd(n/k,m/k)=1。由前式可知(m/k)与(n/k)互质。满足条件的(m/k)个数，也就是s(k)就等于phi(n/k) ←欧拉函数！

解1：直接套模板。算法无误，但是因为题目数据大，保存函数后再处理会RE（原因目测是存储用数组开不了那么大）

 /*by SilverN*/
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 const int maxn=;
 long long n;
 int m[maxn],phi[maxn],p[maxn],pt;
 int euler()
 {
     phi[]=;
     int N=maxn;
     int k;
     for(int i=;i<N;i++)
     {
         if(!m[i])//i是素数
             p[pt++]=m[i]=i,phi[i]=i-;
         for(int j=;j<pt&&(k=p[j]*i)<N;j++)
         {
             m[k]=p[j];
             if(m[i]==p[j])//为了保证以后的数不被再筛，要break
             {
                 phi[k]=phi[i]*p[j];
 /*这里的phi[k]与phi[i]后面的∏(p[i]-1)/p[i]都一样（m[i]==p[j]）只差一个p[j]，就可以保证∏(p[i]-1)/p[i]前面也一样了*/
                 break;
             }
             else
                 phi[k]=phi[i]*(p[j]-);//积性函数性质，f(i*k)=f(i)*f(k)
         }
     }
 }
 int main(){
     euler();
     scanf("%lld",&n);
     long long m=sqrt(n);
     int i,j;
     long long ans=;
     for(i=;i<=m;i++){
         if(n%i==){
             ans+=phi[n/i]*i;
             ans+=(n/i)*phi[i];
         }
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

解2：多花点时间，每次都算一遍。并不会TLE，神奇

代码是从hzw学长那学到的，精简得很。

 /*by SilverN*/
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 const int mxn=;
 long long n,m;
 long long phi(long long x){
     long long a=x;
     for(long long i=;i<=m;i++){
         if(x%i==){//找到因数
             a=a/i*(i-);//基本计算公式 a*=((i-1)/i)
             while(x%i==)x/=i;//除去所有相同因数
         }
     }
     if(x>)a=a/x*(x-);//处理最后一个大因数
     return a;
 }
 int main(){
     scanf("%lld",&n);
     m=sqrt(n);
     int i,j;
     long long ans=;
     for(i=;i<=m;i++){
         if(n%i==){
             ans+=phi(n/i)*i;
             ans+=(n/i)*phi(i);
         }
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }