[bzoj2752]高速公路 题解(线段树)

2752: [HAOI2012]高速公路(road)

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Description

Y901高速公路是一条重要的交通纽带，政府部门建设初期的投入以及使用期间的养护费用都不低，因此政府在这条高速公路上设立了许多收费站。
Y901高速公路是一条由N-1段路以及N个收费站组成的东西向的链，我们按照由西向东的顺序将收费站依次编号为1~N，从收费站i行驶到i+1(或从i+1行驶到i)需要收取Vi的费用。高速路刚建成时所有的路段都是免费的。
政府部门根据实际情况，会不定期地对连续路段的收费标准进行调整，根据政策涨价或降价。
无聊的小A同学总喜欢研究一些稀奇古怪的问题，他开车在这条高速路上行驶时想到了这样一个问题:对于给定的l,r(l<r),在第l个到第r个收费站里等概率随机取出两个不同的收费站a和b，那么从a行驶到b将期望花费多少费用呢?

Input

第一行2个正整数N,M，表示有N个收费站，M次调整或询问
接下来M行，每行将出现以下两种形式中的一种
C l r v 表示将第l个收费站到第r个收费站之间的所有道路的通行费全部增加v
Q l r   表示对于给定的l,r，要求回答小A的问题
所有C与Q操作中保证1<=l<r<=N

Output

对于每次询问操作回答一行，输出一个既约分数
若答案为整数a，输出a/1

Sample Input

4 5
C 1 4 2
C 1 2 -1
Q 1 2
Q 2 4
Q 1 4

Sample Output

1/1
8/3
17/6

HINT

数据规模

所有C操作中的v的绝对值不超过10000

在任何时刻任意道路的费用均为不超过10000的非负整数

所有测试点的详细情况如下表所示

Test N M

1 =10 =10

2 =100 =100

3 =1000 =1000

4 =10000 =10000

5 =50000 =50000

6 =60000 =60000

7 =70000 =70000

8 =80000 =80000

9 =90000 =90000

10 =100000 =100000

这道题所有操作都是对边进行的，所以我们化点编号为边编号，询问时将$Q_r--$。

一眼看出这应该是假期望，真正所求为

$\frac{\sum \limits_{i=l}^r \sum \limits_{j=l}^r dis[i][j]}{C_{r-l+1}^{2}}$

不要忘了我们已经将化点为边了，所以其实是

$\frac{\sum \limits_{i=l}^r \sum \limits_{j=l}^r dis[i][j]}{C_{r-l+2}^{2}}$

分母很好算，即$\frac {(r-l+2)(r-l+1)}{2}$

分子是需要我们维护的，但这种形式令我们无从下手。所以尝试换一种思路表示它。

对于每一段路，向左向右分别考虑它被经过的次数：

$\sum \limits_{i=l}^r{a[i]*(r-i+1)(i-l+1)}$

我们令$sum_1=\sum \limits_{i=l}^{r}{a[i]}$

$sum_2=\sum \limits_{i=l}^{r}{a[i]*i}$

$sum_3=\sum \limits_{i=l}^{r}{a[i]*i^2}$

把$\sum$拆开，化简一下得到$(r-l+1-r*l)*sum_1+(r+l)*sum_2-sum_3$

然后这三个$sum$用线段树维护的话左右儿子合并直接相加就行了，

但是本题还需要区间修改

对于$sum_1$,直接按照普通线段树区间加数的方式修改，区间长度乘上值

对于$sum_2$,我们需要对区间加上$val*\sum i$,这个建树时处理一下区间和即可

对于$sum_3$,我们需要对区间加上$val*\sum i^2$，类似于上面直接建树时处理

（所谓建树时处理，就是建树$l,r$重合时存进去就行了）

出题人真是毒瘤……第一次用$define\ int\ ll$这么粗糙的方式……

对于性质类似的变量，以数组形式存储、for循环更新能大幅减少代码长度和调试难度。

另外，输出答案时需要求gcd约分一下。

完结撒花！

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define ls(k) k<<1
#define rs(k) k<<1|1
const int N=;
typedef long long ll;
#define int ll
int n,m;
ll gcd(ll x,ll y){while(y^=x^=y^=x%=y);return x;}
ll read()
{
    ll x=,f=;char ch=getchar();
    while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
    while(ch>=''&&ch<='')x=x*+ch-'',ch=getchar();
    return x*f;
}
int lsd[N<<],rsd[N<<];
ll sum[N<<][],lz[N<<],ans[];
void update(int k)
{
    for(int i=;i<=;i++)
        sum[k][i]=sum[ls(k)][i]+sum[rs(k)][i];
    return ;
}
void build(int k,int l,int r)
{
    lsd[k]=l,rsd[k]=r;
    if(l==r)
    {
        sum[k][]=l*l;
        sum[k][]=l;
        return ;
    }
    int mid=l+r>>;
    build(ls(k),l,mid);
    build(rs(k),mid+,r);
    for(int i=;i<=;i++)
        sum[k][i]=sum[ls(k)][i]+sum[rs(k)][i];
    return ;
}
void pdown(int k,ll val)
{
    sum[k][]+=1LL*(rsd[k]-lsd[k]+)*val;
    sum[k][]+=val*sum[k][];
    sum[k][]+=val*sum[k][];
    lz[k]+=val;
    return ;
}
void down(int k)
{
    pdown(ls(k),lz[k]);
    pdown(rs(k),lz[k]);
    lz[k]=;
    return ;
}
void change(int k,int L,int R,ll val)
{
    if(lsd[k]>=L&&rsd[k]<=R)
    {
        pdown(k,val);
        return ;
    }
    if(lz[k])down(k);
    int mid=lsd[k]+rsd[k]>>;
    if(mid>=L)change(ls(k),L,R,val);
    if(mid<R)change(rs(k),L,R,val);
    update(k);
    return ;
}
void query(int k,int L,int R)
{
    if(lsd[k]>=L&&rsd[k]<=R)
    {
        for(int i=;i<=;i++)
            ans[i]+=sum[k][i];
        return ;
    }
    if(lz[k])down(k);
    int mid=lsd[k]+rsd[k]>>;
    if(mid>=L)query(ls(k),L,R);
    if(mid<R)query(rs(k),L,R);
    return ;
}
signed main()
{
    n=read();m=read();
    build(,,n);char op[];
    int ql,qr;
    while(m--)
    {
        scanf("%s",op);
        ql=read();qr=read()-;
        if(op[]=='C')
        {
            int val=read();
            change(,ql,qr,val);
        }
        else
        {
            for(int i=;i<=;i++)ans[i]=;
            query(,ql,qr);
            ll res=1LL*(qr-ql+-qr*ql)*ans[]+1LL*(qr+ql)*ans[]-ans[];
            ll mot=1LL*(qr-ql+)*(qr-ql+)/,GCD=gcd(res,mot);
            res/=GCD;mot/=GCD;
            printf("%lld/%lld\n",res,mot);
        }
    }
    return ;
}