Hash Killer I

Time Limit: 5 Sec Memory Limit: 128 MBSec Special Judge

Description

这天天气不错,hzhwcmhf神犇给VFleaKing出了一道题:

给你一个长度为N的字符串S,求有多少个不同的长度为L的子串。

子串的定义是S[l]、S[l + 1]、... S[r]这样连续的一段。

两个字符串被认为是不同的当且仅当某个位置上的字符不同。

VFleaKing一看觉得这不是Hash的裸题么!于是果断写了哈希 + 排序。

而hzhwcmhf神犇心里自然知道,这题就是后缀数组的height中 < L的个数 + 1,就是后缀自动机上代表的长度区间包含L的结点个数,就是后缀树深度为L的结点的数量。

但是hzhwcmhf神犇看了看VFleaKing的做法表示非常汗。于是想卡掉他。

VFleaKing使用的是字典序哈希,其代码大致如下:

u64 val = 0;

for (int i = 0; i < l; i++)

val = val * base + s[i] - 'a';

u64是无符号int64,范围是[0, 2^64)。VFleaKing让val自然溢出。

base是一个常量,VFleaKing会根据心情决定其值。

VFleaKing还求出来了base ^ l,即base的l次方,这样就能方便地求出所有长度为L的子串的哈希值。

然后VFleaKing给哈希值排序,去重,求出有多少个不同的哈希值,把这个数作为结果。

其算法的C++代码如下:

typedef unsigned long long u64;

const int MaxN = 100000;

inline int hash_handle(const char *s, const int &n, const int &l, const int &base)
{
u64 hash_pow_l = 1;
for (int i = 1; i <= l; i++)
hash_pow_l *= base; int li_n = 0;
static u64 li[MaxN]; u64 val = 0;
for (int i = 0; i < l; i++)
val = val * base + s[i] - 'a';
li[li_n++] = val;
for (int i = l; i < n; i++)
{
val = val * base + s[i] - 'a';
val -= (s[i - l] - 'a') * hash_pow_l;
li[li_n++] = val;
} sort(li, li + li_n);
li_n = unique(li, li + li_n) - li;
return li_n;
}

hzhwcmhf当然知道怎么卡啦!但是他想考考你。

Input

没有输入。

Output

你需要输出一组数据使得VFleaKing的代码WA掉。我们会使用Special Judge检查你的结果的正确性。

输出文件共两行。

第一行两个用空格隔开的数n、l。

第二行是一个长度为n的字符串。只能包含'a'~'z'。

需要保证1 <= n <= 10^5, 1 <= l <= n,

不符合以上格式会WA。

不要有多余字符,很可能导致你WA。

Sample Input

没有

Sample Output

8 4

buaabuaa

(当然这个输出是会WA的)

HINT

orz 波兰人 & fotile96 & sillycross

自然溢出相当于 mod \(2 ^ 64\) 所以如果模数是偶数输入一大串 a 就好了。

奇数的话应该是这样:

如果base是奇数的话,现在只考虑a、b两个字母。

a \ b表示a能整除b。(orz 具体数学)

设数学上的函数not(S)表示把字符串S中每个位置的'a'变成'b',把'b'变成'a'后形成的字符串。比如not("ababaa") = "bababb"

strA . strB代表字符串串联。如"娃" . "哈哈" = "娃哈哈"

|str|表示字符串str的长度。

设字符串序列{orzstr[i]},orzstr[1] = "a", orzstr[i] = orzstr[i - 1] . not(orzstr[i - 1])

那么|orzstr[i]| = |orzstr[i - 1]| * 2。显然这是等比数列,得到:|orzstr[i]| = |orzstr[1]| . 2 ^ (i - 1) = 2 ^ (i - 1)

设hash(str)为str的哈希值。

则:

hash(orzstr[i]) = hash(orzstr[i - 1]) * base ^ |not(orzstr[i - 1])| + hash(not(orzstr[i - 1]))

= hash(orzstr[i - 1]) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(not(orzstr[i - 1]))

hash(not(orzstr[i])) = hash(not(orzstr[i - 1])) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(orzstr[i - 1])

两式相减:

hash(orzstr[i]) - hash(not(orzstr[i]))

= (hash(orzstr[i - 1]) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(not(orzstr[i - 1]))) - (hash(not(orzstr[i - 1])) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(orzstr[i - 1]))

= (hash(orzstr[i - 1]) - hash(not(orzstr[i - 1]))) * (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1)

这让我们发现,hash(orzstr[i]) - hash(not(orzstr[i]))似乎是个神奇的东西。而我们的目的实际上是要找两个字符串strA, strB使得

hash(strA) % 2^64 = hash(strB) % 2^64

相当与

2^64 \ hash(strA) - hash(strB)

设数列{f[i]},f[i] = hash(orzstr[i]) - hash(not(orzstr[i]))

这样就有:

f[i] = f[i - 1] * (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1)

还是有点不爽啊……我们再设数列{g[i]},g[i] = base ^ (2 ^ (i - 1)) - 1

于是能写成:

f[i] = f[i - 1] * g[i - 1]

则f[i] = f[1] * g[1] * g[2] * ... * g[i - 1]

然后发现一个神奇的事情?

base是奇数,则base的任意正整数次方也一定是奇数。所以对于任意的i必有g[i]为偶数,所以2 ^ (i - 1) \ f[i]

问题是不是结束了呢……发现没有……这样的话我们要使2 ^ 64 \ f[i],至少得让i = 65……然后发现|orzstr[65]|是个天文数字。

发现我们刚才那样分析太坑爹了……

i > 1时有:

g[i] = base ^ (2 ^ (i - 1)) - 1 = (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1) * (base ^ (2 ^ (i - 2)) + 1) = g[i - 1] * 一个偶数

而g[1]显然是偶数吧……

那么4 \ g[2],8 \ g[3]...

也就是说2 ^ i \ g[i]

所以f[i] 实际上有:

(2 ^ 1) * (2 ^ 2) * (2 ^ 3) * ... * (2 ^ (i - 1)) \ f[i]

2 ^ (i * (i - 1) / 2) \ f[i]

当i取12时,就有66个2了哟!

这就是卡base为奇数时的方法。orzstr[12]和not(orzstr[12])即为所求。

而读入中base既有奇数又有偶数,直接在奇数构造的字符串后面加64个a就可以了。

Orz ......

```c++

include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 5;

char s[13][maxn], not_s[13][maxn];

int len;

inline void calc(int t){

for(int i = 1; i <= len; ++i){

s[t][i] = s[t - 1][i];

not_s[t][i] = (s[t][i] == 'b') ? ('a') : ('b');

}

for(int i = 1; i <= len; ++i){

s[t][i + len] = not_s[t - 1][i];

not_s[t][i + len] = (s[t][i + len] == 'b') ? ('a') : ('b');

}

len <<= 1;

}

int main()

{

printf("%d %d\n",(1 << 11) + 911, (1 << 10));

s[0][1] = 'a'; not_s[0][1] = 'b'; len = 1;

for(int i = 1; i <= 10; ++i) calc(i);

for(int i = 1; i <= len; ++i) printf("%c", s[10][i]);

for(int i = 1; i <= len; ++i) printf("%c", not_s[10][i]);

for(int i = 1; i <= 911; ++i) printf("p");

return 0;

}

bzoj3097 Hash Killer I的更多相关文章

  1. bzoj3097 hash killer 1——构造题

    题意 在 $u64$ 自然溢出下,请输出一串字符串和 $L$,使得对任意 $Base$ 都能找到两个长度为 $L$ 的字串的 $Hash$ 值相同. 分析 $u64$ 自然溢出等价于两个哈希值模 $2 ...

  2. 【BZOJ3097】 Hash Killer I

    BZOJ3097 Hash Killer I Solution 考虑它是自然溢出,相当于就是对\(2^{63}\)取膜 那么就有\(aaaaa...aaa\)(多于64个)和\(baaaa...aaa ...

  3. 3098: Hash Killer II

    3098: Hash Killer II Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 128 MBSec  Special JudgeSubmit: 1219  Solved:  ...

  4. 3097: Hash Killer I

    3097: Hash Killer I Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 128 MBSec  Special JudgeSubmit: 425  Solved: 15 ...

  5. 从Hash Killer I、II、III论字符串哈希

    首先,Hash Killer I.II.III是BZOJ上面三道很经典的字符串哈希破解题.当时关于II,本人还琢磨了好久,但一直不明白为啥别人AC的代码都才0.3kb左右,直到CYG神犇说可以直接随机 ...

  6. BZOJ 3098: Hash Killer II(新生必做的水题)

    3098: Hash Killer II Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 128 MBSec  Special JudgeSubmit: 1555  Solved: ...

  7. BZOJ 3097: Hash Killer I【构造题,思维题】

    3097: Hash Killer I Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 128 MBSec  Special JudgeSubmit: 963  Solved: 36 ...

  8. BZOJ 3097: Hash Killer I

    3097: Hash Killer I Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 128 MBSec  Special Judge[Submit][Status][Discus ...

  9. 【BZOJ】 Hash Killer I II III

    前言 这里只是一个整理... Solution Hash Killer I Hash Killer II

随机推荐

  1. html中的块级元素和行内元素

    块级元素:块级大多为结构性标记 <address>...</adderss> <center>...</center>  地址文字 <h1> ...

  2. simrank python实现

    1.数据 pc,hp.com pc,hp.com pc,hp.com pc,hp.com pc,hp.com pc,hp.com pc,hp.com pc,hp.com pc,hp.com pc,hp ...

  3. [python 学习] sax

    #!/usr/bin/python # -*- coding: UTF-8 -*- import xml.sax class MovieHandler( xml.sax.ContentHandler ...

  4. P2254 [NOI2005]瑰丽华尔兹

    链接P2254 [NOI2005]瑰丽华尔兹 首先有个很朴素的\(dp\),设\(f_{i,j,k}\)表示\(k\)时刻地点\(i,j\)的最长长度. 然后这样不能优化,考虑利用一段连续时间是同一个 ...

  5. spark与Hadoop的区别

    1. Mapreduce和Spark的相同和区别 两者都是用mr模型来进行并行计算 hadoop的一个作业:job job分为map task和reduce task,每个task都是在自己的进程中运 ...

  6. 如何将word内容粘贴到富文本编辑器里面

    Chrome+IE默认支持粘贴剪切板中的图片,但是我要发布的文章存在word里面,图片多达数十张,我总不能一张一张复制吧?Chrome高版本提供了可以将单张图片转换在BASE64字符串的功能.但是无法 ...

  7. nginx: [emerg] open() "/var/run/nginx/nginx.pid" failed (2: No such file or directory)

    测试服务器 问题描述 [root@g-s-- nginx]# /usr/sbin/nginx -c /etc/nginx/nginx.conf open() : No such file or dir ...

  8. [CSP-S模拟测试]:Permutation(线段树+拓扑排序+贪心)

    题目描述 你有一个长度为$n$的排列$P$与一个正整数$K$你可以进行如下操作若干次使得排列的字典序尽量小对于两个满足$|i−j|\geqslant K$且$|P_i−P_j|=1$的下标$i$与$j ...

  9. BaseFragment 基类

    package com.test.mvp.mvpdemo.mvp.v6.basemvp; import android.os.Bundle;import android.support.annotat ...

  10. 生产环境下,oracle不同用户间的数据迁移。第三部分

    任务名称:生产环境下schema ELON数据迁移至schema TIAN########################################前期准备:1:确认ELON用户下的对象状态se ...