【ARC072E】Alice in linear land

题目

瑟瑟发抖，这竟然只是个蓝题

题意大概就是初始在\(0\)，要到坐标为\(D\)的地方去，有\(n\)条指令，第\(i\)条为\(d_i\)。当收到一条指令\(x\)后，如果向\(D\)方向走\(x\)后距离\(D\)更近，那么就走；否则就停留在原地。

现在有\(Q\)次询问，第\(i\)次询问为\(q_i\)，问能不能仅改变\(d_{q_i}\)，使得其不能到达\(D\)点

考虑一个暴力，设\(g_{i,j}\)表示当\(D=j\)时，只使用后\(i\)次操作能否到达\(j\)点

考虑如何求出\(g_{i,j}\)

转移大概长这样

\[g_{i,j}=\left\{\begin{matrix}
g_{i+1,j-d_i} & d_i\leq j\\
g_{i+1,d_i-j} & j<d_i<2j\\
g_{i+1,j}&d_i\geq 2j
\end{matrix}\right.
\]

就是当\(d_i\leq j\)的时候，只能到达距离目标\(j-d_i\)的地方

当\(j<d_i<2j\)，我们会走过\(j\)点，到达距离目标\(d_i-j\)的地方，这个时候翻转一下正方向即可

当\(d_i>2j\)的时候，显然走过去的点距离目标更远，于是直接不走

我们再处理出一个数组\(pos_i\)表示第\(i\)次操作后距离\(D\)点的距离

当遇到一个询问\(q_i\)的时候，如果我们要改变\(d_{q_i}\)，那么可能我们只能改变为\(0\)到\(2\times pos_{i-1}\)的数，只有这些才是有效移动

进行有效移动后距离目标点的距离也只可能从\(pos_{i-1}\)到\(0\)，所以只需要\(g_{q_i+1,0}\)到\(g_{q_i+1,pos_{i-1}}\)里有一个是\(0\)，那么我们就可以走这个距离，之后就不可能走到目标点了

这样复杂度是\(O(nD)\)的，显然过不了

考虑一下如何不求\(g\)数组，而直接高效询问

发现我们一次询问只关注\(g_{q_i+1}\)的前\(pos_{i-1}\)项有没有一个\(0\)，显然一个靠前的\(0\)能影响更多的询问

所以我们如果知道使得\(g_{i,j}=0\)最小的\(j\)在哪里，也能快速回答询问

设\(dp_i\)表示使得\(g_{i,j}=0\)最小的\(j\)，考虑求出\(dp\)数组

根据上面\(g\)数组的转移，尝试反推\(dp\)数组的转移

当\(d_i\geq 2\times dp_{i+1}\)时，\(dp_{i}=dp_{i+1}\)。这对应了上面的第三个转移

当\(dp_{i+1}=d_i-j\)，即\(dp_{i}=d_i-dp_{i+1}\)时，需要满足\(d_i-dp_{i+1}<d_i<2(d_i-dp_{i+1})\)，即\(d_i>2\times dp_{i+1}\)时。这对应了第二个转移。

当\(dp_{i+1}=j-d_i\)，即\(dp_i=dp_{i+1}+d_i\)时，需要满足\(d_i\leq dp_{i+1}+d_i\)，这显然成立。这对应了上面第三个转移。

根据条件取上面三个转移的最小值即可，回答询问的时候只需要判断一下\(dp_{q_i+1}\)和\(pos_{q_{i-1}}\)的大小关系即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read() {
	char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const int maxn=5e5+5;
int d[maxn],dp[maxn],pos[maxn];
int n,D,Q;
inline int ABS(int x) {return x>=0?x:-x;}
int main() {
	n=read();D=read();dp[n+1]=1;
	for(re int i=1;i<=n;i++) d[i]=read();
	for(re int i=n;i;--i) {
		if(d[i]>=2*dp[i+1]) {
			dp[i]=dp[i+1];
			if(d[i]>2*dp[i+1]) dp[i]=min(dp[i],d[i]-dp[i+1]);
		}
		else dp[i]=dp[i+1]+d[i];
	}
	pos[0]=D;
	for(re int i=1;i<=n;i++) pos[i]=min(ABS(pos[i-1]-d[i]),pos[i-1]);
	Q=read();int x;
	while(Q--) x=read(),puts(dp[x+1]<=pos[x-1]?"YES":"NO");
	return 0;
}