欧拉-拉格朗日方程 The Euler-Lagrange Equation

在 paper: Bounded Biharmonic Weights for Real-Time Deformation 中第一次接触到 Euler-Lagrange 方程，简单记录一下。

泛函的定义

定义一： 泛函（functional）通常是指定义域为函数集，而值域为实数或者复数的映射。换而言之，泛函是从由函数组成的一个向量空间到标量域的映射。

定义二： 设 \(\boldsymbol{C}\) 是函数（形式）的集合，\(\boldsymbol{B}\) 是实数集合；如果对 \(\boldsymbol{C}\) 中的任一个元素 \(y(x)\)，在 \(\boldsymbol{B}\) 中都有一个元素 \(\boldsymbol{J}\) 与之对应，则称 \(\boldsymbol{J}\) 为 \(y(x)\) 的泛函，记为 \(\boldsymbol{J}[y(x)]\)。

• 泛函是函数的函数，以函数为自变量，而非普通变量

• 最短路径： \(\boldsymbol{L} = \boldsymbol{L}[y(x)]\)

  \(J[y(x)] = \int_a^b \sqrt{1 + y'^{2}} dx\)

• 最简泛函： 满足以下关系的泛函称为最简泛函

  \(J[y(x)] = \int_a^b F(x, y, y') dx\)
  其中，\(F(x, y, y')\) 被称为核函数。

注：算子是一个函数到另一个函数的映射，它是从向量空间到向量空间的映射；泛函是从向量空间到数域的映射；函数是从数域到数域的映射。

最短路径问题

参考：
「泛函」究竟是什么意思？ - 清雅白鹿记的回答 - 知乎
泛函和变分法