字符串（3）AC自动机

AC自动机真神奇，其实说白了就是在trie树上进行kmp模式匹配，不过刚接触确实有些难度，有些思想确实有些难以理解，所以学习的时候最好亲自手动模拟整个算法的全过程，那我就来写篇blog总结一下。

首先我们需要明白AC自动机是用来干什么的，首先我们知道kmp算法是用来解决单模式串匹配问题的，那么如果模式串不止一个，我们该怎么办呢？没错，AC自动机。我们可以把所有的模式串建立一棵字典树，然后在字典树上进行自我匹配建立next数组，最后利用next数组与主串进行匹配。

建立trie树没有什么问题，最难的地方估计是建立next数组的过程，那我就来手动模拟一下。

假设模式串为：AAAA  ABA  BBA BBB

主串为：AAAABBABABABB

首先我们建立字典树：

不过AC自动机里的字典树和普通的trie有所不同，这里的trie定义了一个0号虚结点，并且0号结点的所有出边都连向一号点，也就是说我们可以理解为1号结点代表的所有的字符集，然后我们将一号点的next指向0号点。

对于2号结点，我们有f[2]=1（其中f[i]表示i结点的父结点）那么我们就看一下1号点的next指向的0号点是否含有A这个儿子。显然1号结点就是这样的结点，所以2号点的next连向1。

同样的我们对于三号点也进行同样的操作，由于一号点的next是0，而0有B这样的儿子，所以把3的next连向1。

对于其余的结点我们也进行一样的操作：

但是对于8号点，它的父亲是5号点，5号点的next为3号点，然而三号点没有A这个儿子结点，那我们就继续查询3号点的next 1号点，一号点有A这个儿子，所以把8号点的next指向2号点。

然后我们就可以建立整棵trie树的next数组了。

这里有一个问题，我们在询问8号点时，重复跳了几次next这样便使得时间复杂度超过我们期望的O（n），所以我们需要进行一些神奇的操作。

我们在询问三号结点A这个儿子的时候，由于它不存在，一般情况我们就会continue，然后继续询问他的其它儿子，但是我们在询问9号点时，再一次访问了不存在的3号点的A这个儿子，而我们又会继续访问3号点的next所指的结点的A这个儿子，也就是说3号点的A这个儿子在整个操作中完全没有作用但是我们还会重复访问，所以我们就直接把3号点的A儿子直接定义为2号点，也就是next[3]：1的A儿子。这样我们在询问8号点的时候就可以直接将next[9]赋值为9的父结点的next结点的A这个儿子，也就是2号点。这样我们就是实现了O(n)的复杂度来建立next数组。（刚刚接触可能不是很理解，自己多画图模拟就明白了）

建立起next数组后，我们就可以直接让主串在trie树上跑，然后就可以愉快的dp了。

 void trie(char *s)
 {
     int len=strlen(s),u=;
     for(int i=;i<len;i++)
     {
         int c=s[i]-'a';
         if(!tree[u][c])
         {
             tree[u][c]=++tot;
         }
         u=tree[u][c];
     }
     bo[u]++;//记录每个模式串结尾的位置
 }

建立trie树

 void bfs()
 {
     for(int i=;i<=;i++)
     tree[][i]=;//把0的所有出边都设为1
     next[]=;q.push();//把1的next记为0，1号点入队
     while(q.size())
     {
         int u=q.front();
         q.pop();
         for(int i=;i<=;i++)
         {
             if(!tree[u][i])
             tree[u][i]=tree[next[u]][i];//这里就是上文所述的优化 如果u没有i这个儿子，
             //那就把next[u]的i这个儿子当做u的i这个儿子
             else
             {
                 q.push(tree[u][i]);
                 int v=next[u];
                 next[tree[u][i]]=tree[v][i];
             }
         }
     }
 }

求next数组

 void find(char *s)
 {
     int u=,len=strlen(s),k;
     for(int i=;i<len;i++)
     {
         int c=s[i]-'a';
         u=tree[u][c];
     }
 }

主串匹配

接下来是一道模板题：

P3808 【模板】AC自动机（简单版）

 #include<iostream>
 #include<string>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<map>
 #include<algorithm>
 #include<stack>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #define maxn 1000005
 using namespace std;

 inline int read()
 {
     int x=,res=;
     char c=getchar();
     while(c<''||c>'')
     {
         if(c=='-')
         x=-;
         c=getchar();
     }
     while(c>=''&&c<='')
     {
         res=res*+(c-'');
         c=getchar();
     }
     return res*x;
 }

 int n,tot=,ans;
 char a[maxn];
 int tree[maxn][],next[maxn],bo[maxn];
 queue<int>q;

 void trie(char *s)
 {
     int len=strlen(s),u=;
     for(int i=;i<len;i++)
     {
         int c=s[i]-'a';
         if(!tree[u][c])
         {
             tree[u][c]=++tot;
         }
         u=tree[u][c];
     }
     bo[u]++;
 }

 void bfs()
 {
     for(int i=;i<=;i++)
     tree[][i]=;
     next[]=;q.push();
     while(q.size())
     {
         int u=q.front();
         q.pop();
         for(int i=;i<=;i++)
         {
             if(!tree[u][i])
             tree[u][i]=tree[next[u]][i];
             else
             {
                 q.push(tree[u][i]);
                 int v=next[u];
                 next[tree[u][i]]=tree[v][i];
             }
         }
     }
 }

 void find(char *s)
 {
     int u=,len=strlen(s),k;
     for(int i=;i<len;i++)
     {
         int c=s[i]-'a';
         k=tree[u][c];
         while(k>&&bo[k]!=-)
         {
             ans+=bo[k];
             bo[k]=-;
             k=next[k];
         }
         u=tree[u][c];
     }
 }

 int main()
 {
     n=read();
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         scanf("%s",a);
         trie(a);
     }
     bfs();
     scanf("%s",a);
     find(a);
     cout<<ans;
     return ;
 }

这还是一道模板题:

P3796 【模板】AC自动机（加强版）

 #include<iostream>
 #include<string>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<map>
 #include<algorithm>
 #include<stack>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #define maxn 1000005
 using namespace std;

 struct tr
 {
     int next;
     int vis[];
     int end;
     int num;
 }tree[];

 inline int read()
 {
     int x=,res=;
     char c=getchar();
     while(c<''||c>'')
     {
         if(c=='-')
         x=-;
         c=getchar();
     }
     while(c>=''&&c<='')
     {
         res=res*+(c-'');
         c=getchar();
     }
     return res*x;
 }

 int n,tot,ans;
 char b[][];
 char a[maxn];
 int f[];
 queue<int>q;

 void trie(char *s,int num)
 {
     int len=strlen(s),u=;
     for(int i=;i<len;i++)
     {
         int c=s[i]-'a';
         if(!tree[u].vis[c])
         {
             tree[u].vis[c]=++tot;
         }
         u=tree[u].vis[c];
     }
     tree[u].num=num;
 }

 void bfs()
 {
     for(int i=;i<=;i++)
     tree[].vis[i]=;
     tree[].next=;q.push();
     while(q.size())
     {
         int u=q.front();
         q.pop();
         for(int i=;i<=;i++)
         {
             if(!tree[u].vis[i])
             tree[u].vis[i]=tree[tree[u].next].vis[i];
             else
             {
                 q.push(tree[u].vis[i]);
                 int v=tree[u].next;
                 tree[tree[u].vis[i]].next=tree[v].vis[i];
             }
         }
     }
 }

 void find(char *s)
 {
     int len=strlen(s),u=,k;
     for(int i=;i<len;i++)
     {
         int c=s[i]-'a';
         k=tree[u].vis[c];
         while(k>)
         {
             f[tree[k].num]++;
             k=tree[k].next;
         }
         u=tree[u].vis[c];
     }
 }

 int main()
 {
     while()
     {
         n=read();
         if(n==) break;
         memset(tree,,sizeof(tree));
         memset(f,,sizeof(f));
         tot=;ans=;
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             scanf("%s",b[i]);
             trie(b[i],i);
         }
         bfs();
         scanf("%s",a);
         find(a);
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             ans=max(ans,f[i]);
         }
         cout<<ans<<endl;
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             if(f[i]==ans)
             printf("%s\n",b[i]);
         }
     }
     return ;
 }