剑指offer 9.递归和循环 变态跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

 

这道题还是编程题？

 

数学渣渣看到心拔凉拔凉的，

 

要用到数学归纳法来解决，

 

解题思路如下：

 

前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:

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f(1) = 1

f(2) = f(2-1) + f(2-2)         //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。

f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)

...

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n)

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说明： 

1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,...n阶的 跳法数。

2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1

3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2)

4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，

那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)

因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶...n阶，得出结论：

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f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) =>
f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)

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6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：

f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) =
f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)

f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) +
f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)

可以得出：

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f(n) = 2*f(n-1)

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7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、...n阶的跳的方式时，总得跳法为：

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| 1       ,(n=0 )

f(n) =     | 1       ,(n=1 )

              | 2*f(n-1),(n>=2)

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 实现代码如下：

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

public class Solution {     public int JumpFloorII(int target) {         if (target <= 0) {             return -1;         } else if (target == 1) {             return 1;         } else {             return 2 * JumpFloorII(target - 1);         }     } }

 

 

 

 

 

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/22243d016f6b47f2a6928b4313c85387
来源：牛客网