min-max容斥 hdu 4336 && [BZOJ4036] 按位或

题解：

之前听说过这个东西但没有学

令$max(S)$表示S中编号最大的元素，$min(S)$表示编号中最小的元素

$$max(S)=\sum{T \in S} {(-1)}^{|T|+1} min(T) $$

$$min(S)=\sum{T \in S} {(-1)}^{|T|+1} max(T) $$

然后再在外面套个期望

$$E(max(S))=\sum{T \in S} {(-1)}^{|T|+1} E(min(T))$$

hdu 4336

定义大小比较为出现时间早晚

$E(max(S))$就表示最后一个元素出现的时间期望，$E(min(S))$表示第一个元素出现的时间期望

现在我们要求的就是$max($全集$)$

代入上面的$max-min$容斥

而$min(S)=\frac{1}{\sum{i \in S} pi}$

[BZOJ4036] 按位或

按照上面的套路

我们只需要求$\sum{T \in S} {(-1)}^{|T|+1} E(min(T))$

而$E(min(T))=\sum p (p交T不为空)$

我们对每个都求其反面

于是我们只用求$\sum{子集和}$

高维前缀和来做就行了