matlab练习程序（龙格库塔法）

非刚性常微分方程的数值解法通常会用四阶龙格库塔算法，其matlab函数对应ode45。

对于dy/dx = f(x,y)，y(0)=y0。

其四阶龙格库塔公式如下：

对于通常计算，四阶已经够用，四阶以上函数f(x,y)计算工作量大大增加而精度提高较慢。

下面以龙格库塔法解洛伦兹方程为例：

matlab代码如下：

main.m：

clear all;
close all;
clc;

%系统龙格库塔法
[t,h] = ode45(@test_fun,[ ],[  ]);
plot3(h(:,),h(:,),h(:,));
grid on;

%自定义龙格库塔法
[t1,h1]=runge_kutta(@test_fun,[  ],0.01,,);
figure;
plot3(h1(,:),h1(,:),h1(,:),'r')
grid on;

runge_kutta.m（函数参考网络）：

%参数表顺序依次是微分方程组的函数名称，初始值向量，步长，时间起点，时间终点（参数形式参考了ode45函数）
function [x,y]=runge_kutta(ufunc,y0,h,a,b)
n=floor((b-a)/h);       %步数
x()=a;                 %时间起点
y(:,)=y0;              %赋初值，可以是向量，但是要注意维数
for i=:n               %龙格库塔方法进行数值求解
    x(i+)=x(i)+h;
    k1=ufunc(x(i),y(:,i));
    k2=ufunc(x(i)+h/,y(:,i)+h*k1/);
    k3=ufunc(x(i)+h/,y(:,i)+h*k2/);
    k4=ufunc(x(i)+h,y(:,i)+h*k3);
    y(:,i+)=y(:,i)+h*(k1+*k2+*k3+k4)/;
end

test_fun（洛伦兹方程）：

%构造微分方程
function dy=test_fun(t,y)
a = ;
b = ;
c = ;

dy=[a*(y()-y());
    c*y()-y()*y()-y();
    y()*y()-b*y()];

得到很经典的洛伦兹吸引子，结果如下：

参考：

https://wenku.baidu.com/view/8211fbd428ea81c758f57893.html