专题复习--背包问题+例题（HDU 2602 、POJ 2063、 POJ 1787、 UVA 674 、UVA 147）

背包问题
应用场景
给定 $n$ 种物品和一个背包。物品 $i$ 的重量是 $w_i$ ，其价值为 $v_i$ ，背包的容量为C。应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包的总价值最大？
*01 背包

*01 背包特点：
　　给定 $n$ 种物品和一个背包 ( 每个物品只能选取一个)。物品$i$ 的重量是$w[i]$，其价值为$v[i]$，背包的容量为C。应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？
*状态：
　　$dp[i][j]$ 表示在只能从 $1-i$ 个物品中选择物品并且背包容量大小为 $j$ 的情况下，所能获得的最大价值。
*限制条件
　　• 只能选择物品 1 ~ i
　　• 选择物品的总重量不能超过 $j$
*状态转移方程：
　　$dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])$;

*实现：

1）初始化：

 int n,m; //n表示物品个数，m表示背包容量
 for (int i =  ;i<= m ;i++)
     dp[][i] = ;

2）-1二维数组实现：

 for (int i = ;i <= n ;i++){
     for (int j =  ;j<=m ;j++){
     dp[i][j] = dp[i-][j];
     if (j-w[i]>=)
         dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-][j-w[i]]+v[i]);
     }
 }

2）-2一维数组实现

 for (int i = ;i <= n ;i++){
     for (int j = m ;j>= ;j--){
         if (j-w[i]>=)
             dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
     }
 }

*完全背包

*完全背包特点

　　给定 $n$ 种物品和一个背包 ( 每个物品选取无限个)。物品 $i$ 的重量是 $w[i]$,其价值为$v[i]$，背包的容量为$C$。应该如何选择装入背包的物品，是的装入背包中物品的总价值最大？
*状态

　　$dp[i][j]$ 表示在只能从 $1-i$ 个物品中选择物品并且背包容量大小为 $j$ 的情况下，所能获得的最大价值。
*限制条件

　　• 只能选择物品 1 ~ i
　　• 选择物品的总重量不能超过 j

*状态转移方程

　　$dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])$;

*实现

1）初始化

 int n,m; //n表示物品个数，m表示背包容量
 for (int i =  ;i<= m ;i++)
     dp[][i] = ;

2）-1二维数组实现

 for (int i =;i <= n;i++){
     for (int j = ;j <= m;j++){
         dp[i][j]=dp[i-][j];
         if (w[i]<=j)
             dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
     }
 }

2）-2一维数组实现

 for (int i =;i <= n;i++){
     for (int j = ;j <= m;j++){
         if (d-w[i]>=)
         dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
     }
 }

*多重背包

*多重背包特点

　　给定 $n$ 种物品和一个背包 ( 每个物品选取有限个)。物品 $i$ 的重量是 $w[i]$ ，其价值为$v[i]$，每个物品可以取$k[i]$个，背包的容量为C。应该如何选择装入背包中的物品使得装入背包中的物品总价值最大？

*状态

　　$dp[i][j]$ 表示在只能从 $1-i$ 个物品中选择物品并且背包容量大小为 $j$ 的情况下，所能获得的最大价值

*限制条件

　　• 只能选择物品 1 ~ i
　　• 选择物品的总重量不能超过 j

*状态转移

　　$dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i], dp[i-1][j-w[i]*2] + v[i]*2,...)$

*实现

1）初始化

2）-1二维数组实现

 for (int i = ;i <= n ;i++){
     for (int j =  ;j<=m ;j++){
         dp[i][j] = dp[i-][j];
         for (int z =  ; z<=k[i]; z++)
             if (j-w[i]*z>=)
                 dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-][j-z*w[i]]+z*v[i]);
             else
                 break;
     }
 }

2）-2一维数组实现

 for (int i = ;i <= n ;i++){
     for (int j = m ;j>= ;j--){
         for (int z = ; z<=k[i] ;z++)
             if (j-w[i]*z>=)
                 dp[j] = max(dp[j],dp[j-z*w[i]]+z*v[i]);
             else
                 break;
     }
 }

*多重背包问题转化为 01 背包问题
1. p 以下的数字可否由若干不同数字通过组合得到
　　(a) $2^n$- 1 $n$ == 7 二进制: 111111 000001、000010、000100、001000、010000、100000
　　(b) $k$ + $2^n$ -1 < $2^{n+1}$ -1 $n$ == 7
• $2^n$ -1 及以下的数字可以由以下数字表示 000001、000010、000100、001000、010000、100000
• 大于 $2^n$ -1 的数字 $k$ 加上以上 7 个数字组成的数字可以表示任何大于$2^n$ - 1小于等于k+$2^n$-1的数字
2. 代码实现

 //num[i] 表示第i种硬币可以取多少次
 //w[j] 表示转后为01背包后 只能取一次的硬币的价值与重量
 int totlW = ;
 memset(w,,sizeof w);
 for (int i =  ;i< ; i ++){
     for(int j=; j<=num[i]; j<<=){
         w[totlW++]=j*(i+);
         num[i]-=j;
         }
     if(num[i]>)
     w[totlW++]=num[i]*(i+);
 }

背包问题
HDU 2602
POJ 2063
POJ 1787
UVA 674
UVA 147

第一题是01背包的板子题，就直接放代码了：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #include <cstring>
 using namespace std;
 int t;
 int n,m;
 int val[],w[],f[];
 int main ()
 {
     scanf ("%d",&t);
     while (t--)
     {
         scanf ("%d%d",&n,&m);
         memset(f,,sizeof(f));
         for (int i = ;i <= n;i++)
             scanf ("%d",&val[i]);
         for (int i = ;i <= n;i++)
             scanf ("%d",&w[i]);
         for (int i = ;i <= n;i++)
             for (int j = m;j >= w[i];j--)
                 f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+val[i]);
         printf ("%d\n",f[m]);
     }
     return ;
 }

第二道题是完全背包，因为每个债券都是1000的倍数，所以我们可以直接把总钱数和债券的数额都直接除以1000.因为每年都会有利息，所以每年的总钱数会增加，求出每一年的最大利益，总钱数加上最大利益就是下一年的总钱数。所以，我们只需要对于每一年的总钱数求一个完全背包，每年更新总钱数就好。代码如下：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #include <cstring>
 using namespace std;
 const int N = ;
 int dp[N];
 int num[N], val[N];
 int main()
 {
     int t;
     scanf("%d", &t);
     while(t--)
     {
         int money,year,d;
         scanf("%d %d", &money, &year);
         scanf("%d", &d);
         for(int i=;i<d;i++)
         {
             scanf("%d %d", &num[i], &val[i]);
             num[i]/=;
         }
         int sum=money;
         for(int i=;i<year;i++)
         {
             memset(dp,,sizeof(dp));
             money=sum;
             money/=;
             for(int j=;j<d;j++)
             {
                 for(int k=num[j];k<=money;k++)
                 {
                     dp[k]=max(dp[k-num[j]]+val[j],dp[k]);
                 }
             }
             sum+=dp[money];
         }
         printf("%d\n",sum);
     }
     return ;
 }

第三题是完全背包+路径输出，$dp[j]$表示总价格为$j$时最多可以有多少个硬币，但是需要维护一下硬币的个数，实际上在01背包中，我们对所有状态都更新了一次答案，这里我们等于是对4种硬币各跑一次背包，维护一下使用次数即可。$used[j]$表示总价格为j时用了多少个某个硬币。$pre[j]$记录方案，表示j出现更有的答案时是由哪个状态转移来的。最后遍历一下输出答案就好了。

 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 using namespace std;
 int dp[], used[], pre[], coin[] = {, , , }, num[], ans[];
 int main(){
     int p;
     while(scanf("%d %d %d %d %d", &p, &num[], &num[], &num[], &num[]) != EOF){
         if(p + num[] + num[] + num[] + num[] == ) return ;
         for(int i = ; i <= p; ++i){
             dp[i] = -1e9;
         }
         memset(pre, , sizeof(pre));
         pre[] = -;
         dp[] = ;
         for(int i = ; i < ; ++i){
             memset(used, , sizeof(used));
             for(int j = coin[i]; j <= p; ++j){
                 if(dp[j] < dp[j - coin[i]] +  && used[j - coin[i]] < num[i]){
                     used[j] = used[j - coin[i]] + ;
                     dp[j] = dp[j - coin[i]] + ;
                     pre[j] = j - coin[i];
                 }
             }
         }
         if(dp[p] <= ){
             printf("Charlie cannot buy coffee.\n");
             continue;
         }
         memset(ans, , sizeof(ans));
         while(){
             if(pre[p] == -) break;
             ans[p - pre[p]]++;
             p = pre[p];
         }
         printf("Throw in %d cents, %d nickels, %d dimes, and %d quarters.\n", ans[], ans[], ans[], ans[]);
     }
 }

第四题一个简单的动态规划，比如要求55的组成方案数，必须要知道55-1=54的方案数 和 55-5=50的方案数，和50-10=45的方案数和55-25=30的方案数和55-50=5的方案数，所以dp以此类推，每次更新dp。

 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 using namespace std;
 int f[];
 int main ()
 {
     int v;
     while(cin>>v){
         memset(f,,sizeof(f));
         int c[]={,,,,,};
         f[]=;
         for(int i = ; i <= ; ++i)
             for(int j = c[i]; j <= v; ++j)
             {
                 f[j] = f[j]+f[j-c[i]];
             }
         cout << f[v]<<endl;
     }
     return ;
  }