数位dp 笔记

目录

• 数位dp 笔记
  • 解决的问题 & 主体思想
  • 入门 —— windy数
  • 绕一个弯 —— 萌数
  • the end? —— 恨7不成妻
  • 小心细节 [SDOI2016]储能表
  • 复杂度起飞 [AHOI2009]同类分布

数位dp 笔记

数位dp一直是我的弱项，惦记好久了，最近补了补，感觉还行。

解决的问题 & 主体思想

解决一个区间中，满足某些条件（与每一位有关）的数的数量（或者带权的和）。

做法：考虑求前缀 \([1,x]\) 的答案。

如果你是新手，请先考虑一下大概要怎么做，再继续看

先把位（不一定是十进制）拆开来，然后是一个形如 "dp到第 \(i\) 位，..." 的 dp，一般可以用记忆化搜索，一位一位的填，使得它看起来友好一些（个人感觉这样可读性好）。

然后要解决 \(\le x\) 的限制。每次按照这样的规则来填数字：

• 默认每一位都不能超过 \(x\) 对应的位
• 如果有一位小于了 \(x\) 对应的位，则后面就没限制了

这个很好理解。比如说现在钦点下来是 \(123***\)，\(x=123456\)，那后面显然不能超过 \(456\)。

而如果现在钦点下来是 \(122***\)，那它就算是 \(122999\)，也不会超过 \(x\)。

用一个 lim 标记维护当前是否卡到上界。注意它应该被记在 dp 状态里。

入门 —— windy数

求区间满足：任意相邻两位的差都不超过 \(2\) 的数，的数量。

dp 状态：到第几位，当前选了什么（以决定下一个可不可以选），lim

然后每次 dfs 扩展的时候，判断一下下一个填的是否合法，再加个记忆化，就行了。

代码

绕一个弯 —— 萌数

求区间满足：将数看成字符串，没有任何长度 \(\ge 2\) 的回文串的数，的数量。

没有任何长度 \(\ge 2\) 回文串 \(\rightarrow\) 任意一个字符和它前面一个，两个都不同。

这样就保证了没有长度等于 \(2,3\) 的回文串，然后其余的回文串都是由这两种扩展出来的，自然也没有了。

剩下就很好 dp 了，和上一个差不多。

代码

the end? —— 恨7不成妻

hdu的题，我第一次学数位dp的时候被老师称作“毕业题”

你要能把这个题写出来，你数位dp就差不多了

当时看着老师标程打的，现在简单复习了一下，发现还挺好想的 然后把它秒了，其实就是一个傻逼缝合怪题

要满足三个条件：

• 不能有数位7
• 数位和不能是7的倍数
• 数本身不能是7的倍数

区间求满足条件平方和。

这里涉及到一个带权求和。带权求和状态要变一下，表示从这位开始截取，的带权和。

比如说 \(x=123\)，填好了 \(11*\)，满足条件的数有 \(111\)，\(113\)，\(114\)，\(116\)，\(118\)

带权和为 \(1^2+3^2+4^2+6^2+8^2=126\)

为什么要做一步截取呢？因为要方便转移。考虑转移，相当于，我先确定好后面若干位，在它们的前面都填上相同的数字（这里相当于放上了 \(1\)）

然后填相同的数字可以看做是加法 （这里相当于 \(+10\)）

然后平方和，整体加，好做吧：再维护数量和一次方和，设为 dp[...][0/1/2]，对应数量，和，平方和

设现在整体加的为 \(a\)，后面一位的 dp[...][0/1/2] 记下来为 nex[0/1/2]，现在的是 cur[0/1/2]，则有：

cur[0]+=nex[0];
cur[1]+=nex[1]+nex[0]*a;
cur[2]+=nex[2]+2*nex[1]*a+nex[0]*a*a

（就是拆括号搞一下就行）

对于条件：

• 每次不填 \(7\)
• 记录数位和对 \(7\) 的余数，放在状态里，取 \(0\) 那个状态
• 记录整个数对 \(7\) 的余数，放在状态里，取 \(0\) 那个状态

代码

小心细节 [SDOI2016]储能表

求 \(\sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{j=0}^{m-1} \max(i\oplus j-k,0)\)

\(n,m,k\le 10^{18}\)

后面等价成 \(>k\) 的和，减去 \(>k\) 的数量乘以 \(k\)

拆成二进制，做数位 \(dp\)。记下三个 lim，表示是否卡在 \(n\) 的上界，\(m\) 的上界，\(k\) 的下界 （因为 \(k\) 那边是个 \(>\) 的限制）

然后上一题类似的求一下带权和就行了，要维护一下数量和总和。

代码

复杂度起飞 [AHOI2009]同类分布

由于数位 dp 的基本模型只有一个 log，所以可以带很多别的

题意：求区间能整除数位和的数的数量

比如 \(12\) 就满足条件因为 \(1+2\) 是 \(12\) 的倍数

\(x\le 10^{18}\)

注意到数位和不会超过 \(9\times 18=162\)

先枚举数位和 \(k\)，然后 dp 里设两维，一维表示当前数位和，一维表示当前数模 \(k\) 的余数。最后取答案就是 \(\%k=0\)，数位和 \(=k\) 的那个状态

复杂度是 \((9\times \log n^3)\log n\)，非常暴力

代码