【模式识别与机器学习】——logistic regression

　　虽然叫做“回归”，但是这个算法是用来解决分类问题的。回归与分类的区别在于：回归所预测的目标量的取值是连续的（例如房屋的价格）；而分类所预测的目标变量的取值是离散的（例如判断邮件是否为垃圾邮件）。当然，为了便于理解，我们从二值分类（binary classification）开始，在这类分类问题中，y只能取0或1。更好的理解问题，先举个小例子：假如我们要制作一个垃圾邮件过滤系统，如果一封邮件是垃圾系统，y=1，否则y=0 。给定训练样本集，当然它们的特征和label都已知，我们就是要训练一个分类器，将它们分开。

提醒：

不要用线性回归问题去解决分类问题，这是AndrewNG给出的一个忠告！原因很简单，看下图：

看着效果还不错吧，那你在看看下图：

不靠谱吧，只是多了几个正类的点而已，分类线就发生了很大的变化。

解决方法：

为了解决这个问题，我们提出了新的假设函数：

，

其中：

图像：

我们把这个函数叫做logistic函数，或者sigmoid函数。

我们可以发现，当z趋向无穷时，g(z)趋向于1；当z趋向于负无穷时，g(z)趋向于0 ，即当z从负无穷到正无穷的变化时，现在看来，g(z)从0变化到1 ，且g(0)=0.5 。我们要预测的值为0或1，g(z)的变化范围恰好为（0，1），我们想到概率的取值也为（0，1）哈，那索性就用g(z)表示一概率值吧，所以我们假设：

也可以写成：

　　下面我们就要用到极大似然原理：一件事情已经发生了，我们就认为这件事情发生的概率最大，用关于参数的函数来表示出这个概率，求出其最大值所对应的参数值就是我们的目的。在们问题中，给出一个训练集（大小为m），其和都已知，也就是这件事情已经发生，那我们就求其概率，令其最大：

似然函数：

便于计算，要对其取对数：

接下来的问题就是要求这个函数的极大值了，很简单，梯度下降法啦：

注意其实应该叫做梯度上升法，梯度下降法是“－”，但这里求极大值，所以是“＋”。

其中求偏导的部分由：

得到：

最终，我们得到参数的更新法则：