Anderson《空气动力学基础》5th读书笔记 第2记——流体静力学初步

与物体在水中受到水的浮力一样，空气中的物体也会受到空气的浮力，但由于这个浮力往往比较小，实际中的很多问题我们常常将它忽略，而对于像热气球这样的靠空气的浮力产生升力的飞行器来说，空气的浮力是不能忽略的。同时，我们利用空气浮力的性质可以推算出高度随气压的关系。本记我们就来领略它的风采！

文章目录

• 流体静力学方程
• 阿基米德原理的推导
• 应用

流体静力学方程

本记我们考虑的是没有流体运动的特殊情况，也就是流体静力学（因为物体是否运动都会受到浮力嘛）。我们首先来设想这么一个例子，有一个微小的长方体流体放在空气中，在没有外界扰动的情况下，空气处在一个平衡状态（大自然的守恒美），也就是说放入空气中的流体受力平衡，即其受到的重力和大气压力是等大反向的。关于这个微元流体的具体参数如下图所示：

我们只要考虑竖直方向上的受力即可，容易推得其受到的重力大小：​​​​​​​G=−ρgdxdydz​​​​​​​G = -\rho gdxdydz{\color{DarkOrange} }​​​​​​​G=−ρgdxdydz​​​​​​​（这是个微元流体，里面的密度我们可以认为是处处相等的）。它受到的竖直方向上大气压力就是上下表面受到的大气压力的差值：Fp=ΔpS=pdxdy−(p+dp)dxdy=−dpdxdyF_{p} = \Delta pS= pdxdy - (p+dp)dxdy = -dpdxdy{\color{DarkOrange} }Fp​=ΔpS=pdxdy−(p+dp)dxdy=−dpdxdy。这样我们就能列出平衡方程来了，Fp+G=0F_{p} + G = 0Fp​+G=0，经过简单的化简，我们可以推得这样一个式子：dp=−ρgdzdp = -\rho gdzdp=−ρgdz，这个式子就是大名鼎鼎的流体静力学方程了。

阿基米德原理的推导

接下来我们来推导一下著名的阿基米德原理，就是测皇冠重量的那个故事。阿基米德告诉我们物体再流体中受到的浮力大小就等于它排开流体的体积大小。接下来我们来对此进行推导，我们先假设把一个任意形状的物体放入空气中，其各项参数如下图所示：

我们来看一下竖直方向上物体受到的大气压力。虚线部分是我们取的一个微元长方体，其穿过流体表面的两块区域分别为 dA1dA_{1}dA1​，dA2dA_{2}dA2​，且微元长方体的横截面区域为 dAydA_{y}dAy​，由于我们取得长方体很细很细，可以认为 dA1dA_{1}dA1​，dA2dA_{2}dA2​都是平面。接下来就可以给出物体竖直方向上受到的大气压力了：

dFp=−p1dA1cosθ1+p2dA2cosθ2dF_{p} = -p_{1}dA_{1}cos\theta _{1} + p_{2}dA_{2}cos\theta _{2}dFp​=−p1​dA1​cosθ1​+p2​dA2​cosθ2​ 易知dA1cosθ1=dA2cosθ2=dAydA_{1}cos\theta _{1}=dA_{2}cos\theta _{2}=dA_{y}dA1​cosθ1​=dA2​cosθ2​=dAy​，我们再根据上面提到流体静力学方程，可以推得：

p1−p2=∫21−ρgdyp_{1} - p_{2} = \int_{2}^{1}-\rho gdyp1​−p2​=∫21​−ρgdy，于是dFp=∫21ρgdydAydF_{p} = \int_{2}^{1}\rho gdydA_{y}dFp​=∫21​ρgdydAy​

我们再来对整个物体来积分：Fp=∮dAy∫21ρgdyF_{p} = \oint dA_{y}\int_{2}^{1}\rho gdyFp​=∮dAy​∫21​ρgdy我们惊奇地可以发现上面这个FpF_{p}Fp​的大小就是该物体包围的空气所受的重量（这是高数重积分那章中在讲三重积分时提到的先一后二法）。至此，阿基米德原理也被我们推导完毕了！

应用

理论是为实践服务的，既然理论有了，那么有什么用呢？

       如本记开头摘要中提到的那样，我们可以利用阿基米德原理来计算热气球受到的浮力，除此之外，我们还可以利用流体静力学方程来推算高度，Let’s have a try!

       首先我们知道，飞机一般是在对流层中飞行，该层中温度和高度有一个众所周知的规律：每上升一千米气温就下降6.5度，也就是dTdh=a\frac{dT}{dh} = adhdT​=a（这里的a是常数，即-0.0065K/m），我们还知道理想气体的方程为p=ρRTp = \rho RTp=ρRT，之前我们还推得了流体静力学方程dp=−ρgdhdp = -\rho gdhdp=−ρgdh，我们把这些信息组合起来：dp=−PRTgdh=−−PaRTgdTdp=-\frac{P}{RT}gdh = --\frac{P}{aRT}gdTdp=−RTP​gdh=−−aRTP​gdT ，移项：dpp=−gaRTdT\frac{dp}{p}= -\frac{g}{aRT}dTpdp​=−aRTg​dT，两边积分：∫p0pdpp=∫T0T−gaRTdT\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{p}=\int_{T_{0}}^{T} -\frac{g}{aRT}dT∫p0​p​pdp​=∫T0​T​−aRTg​dT，于是：p=p0(TT0)−gaRp=p_{0}(\frac{T}{T_{0}})^{-\frac{g}{aR}}p=p0​(T0​T​)−aRg​（经过一系列简单的化简即可得到该式，这里的p0,T0p_{0},T_{0}p0​,T0​为海平面处的标准气压和温度）。现在，我们得到了气压和温度的关系，我们再利用温度和高度的关系我们又可以很快地得到气压和高度的关系，这便是飞机上气压高度计的基本原理了，测量出飞行中的静压，然后代入公式算出飞行高度，当然由于海平面处的气压不一定就是标准情况，所以飞行员在飞行过程中得不断修正。

       本记到这里就将近尾声了，为什么说是将近呢，因为上面的式子中，我们简化了一个事实，现实中重力加速度是随高度的增加减小的，而非不变量，然而幸运的是，在飞机这种高度下，这种误差基本可以忽略，如果想要了解修正公式，也可以参考 真实海拔和虚拟海拔的关系（?）这篇文章。